Question

Determine quantos pontos de intersecção com o eixo das abscissas tem a parábola dada pela lei:
$y = {x}^{2} + 7x - 10$
$y = \frac{ - {x}^{2} }{2} + 8x + 9$
$y = 2 {x}^{2} + 8x$
$y = 3 {x}^{2} + 4x + 2$

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Vi10santos, que a resolução é simples.
Pede-se para determinar quantos pontos de intersecção com o eixo das abscissas (ou eixo dos "x") têm as parábolas das equações que estão abaixo relacionadas.

Antes de iniciar, veja estes rápidos prolegômenos:

i) Uma equação do 2º grau, da forma y = ax² + bx + c, com raízes reais diferentes (x' e x''), terá o seu gráfico (parábola) cortando o eixo das abscissas (ou eixo dos "x") exatamente nos locais de suas raízes, ou seja, em x' e x''. A propósito, observe que equações do 2º grau só terão duas raízes reais e diferentes quando o seu Δ (b²-4ac) for positivo (>0).

ii) Uma equação do 2º grau, da forma y = ax² + bx + c, com raízes reais iguais (x' = x'') terá o seu gráfico (parábola) apenas tangenciando o eixo das abscissas (ou eixo dos "x") no local da raiz dupla (x' = x''). A propósito, observe que equações do 2º grau só terão uma única raiz real (ou duas raízes reais mas ambas iguais) quando o seu Δ (b²-4ac) for igual a zero.

iii) Uma equação do 2º grau, da forma y = ax² + bx + c, SEM raízes reais, terá o seu gráfico (parábola) acima ou abaixo do eixo das abscissas. Ou seja, o seu gráfico NÃO cortará o eixo das abscissas (ou eixo dos "x"). A propósito, observe que equações do 2º grau NÃO terão raízes reais quando o seu Δ (b²-4ac) for negativo (<0).

iv) Portanto, tendo o que se afirmou nos itens "i", "ii" e "iii" acima, vamos resolver cada uma das suas questões:

iv.a)

y = x² + 7x - 10 ---- igualando a zero para encontrar as raízes, teremos:
x² + 7x - 10 = 0 ---- agora, para isso, aplicaremos a  fórmula de Bháskara, que é esta:

x = [-b ±  √(Δ)]/2a , em que Δ = b²-4ac. Assim, ficaremos com:
x = [-b ± √(b²-4ac)]/2a ---- note que os coeficientes desta equação são:

a = 1 ----- (é o coeficiente de x²)
b = 7 ---- (é o coeficiente de x)
c = -10 --- (é o coeficiente do termo independente).

Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara, teremos:

x = [-7 ± √((-7)²-4*1*(-10))]/2*1
x = [-7 ± √(49+40)]/2
x = [-7 ± √(89)]/2 ----- Assim, as raízes serão estas:

x' = [-7-√(89)]/2 ----- (o que dá aproximadamente "-8,21" )
x'' = [-7+√(89)]/2 ---- (o que dá aproximadamente "1,22")

Logo, o gráfico desta equação (parábola) cortará o eixo das abscissas (ou eixo dos "x") exatamente no local das duas raízes encontradas aí em cima.

iv.b)

y = -x²/2  + 8x + 9 ----- igualando a zero para encontrar as raízes, teremos:
-x²/2 + 8x + 9 = 0 ---- mmc = 2. Assim, utilizando-o no 1º membro, teremos(lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

(1*(-x²) + 2*8x + 2*9)/2 = 0
(-x² + 16x + 18)/2 = 0 ----- multiplicando-se em cruz,teremos:
-x² + 16x + 18 = 2*0 ---- como 2*0 = 0, ficaremos:
- x² + 16x + 18 = 0 ----- aplicando a fórmula de Bháskara (que você já viu como é na resolução da questão anterior), você encontrará as seguintes raízes:

x' = 8 - √(82) ----- (o que dá aproximadamente "-1,06")
x'' = 8 + √(82) --- (o que dá aproximadamente "17,06")

Logo, o gráfico desta equação (parábola) cortará o eixo das abscissas (ou eixo dos "x") exatamente no local das duas raízes encontradas aí em cima.

iv.c)

y = 2x² + 8x ---- vamos igualar a zero para encontrar as raízes:
2x² + 8x = 0 --- para facilitar, poderemos dividir ambos os membros por "2", com o que ficaremos apenas com:

x² + 4x = 0 ----- se colocarmos "x" em evidência já encontraremos as raízes sem nem necessitar da fórmula de Bháskara. Veja:

x*(x + 4) = 0 ---- note que temos aqui o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Logo, teremos as seguintes possibilidades:

ou
x = 0 ---> x' = 0

ou
x+4 = 0 ---> x'' = -4

Logo, o gráfico desta equação (parábola) cortará o eixo das abscissas (ou eixo dos "x") exatamente no local das duas raízes encontradas aí em cima.

iv.d)

y = 3x² + 4x + 2 ----- utilizando procedimento idêntico aos que já tivemos para a resolução das questões anteriores, termeos;


3x² + 4x + 2 = 0 ---- Agora note que o Δ (b²-4ac) desta equação é negativo ( < 0). E, como tal, esta equação NÃO vai ter raízes reais. Assim, o gráfico desta equação NÃO cortará o eixo das abscissas (ou eixo dos "x"). 

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.