Question

Determine quantas raízes esta equação possui e quais são elas, Observe a função e diga se ela possui ponto de máximo ou de mínimo. Quais são as coordenadas do seu vértice?
Y = -4x² - x - 3


Y= 5 + 6x - x²

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos analisar cada uma das funções separadamente para que possamos responder o que se pede.

a)  $y=-4x^2-x-3$

Para determinarmos quantas raízes e quais são elas, igualamos a função a zero. Assim, teremos a equação:

$-4x^2-x-3=0$

Então lembre-se que dada uma equação quadrática completa de coeficientes reais $a,~b$ e $c$ da forma $ax^2+bx+c=0$, suas soluções são dadas pela fórmula: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

No radicando, temos o discriminante delta, dado pela fórmula $\Delta=b^2-4ac$. A depender do valor que ele assume, determinamos quantas raízes a equação apresenta. Porém, ao decorrer do cálculo delas, isso será melhor analisado.

Substituindo o valor dos coeficientes, teremos

$x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot(-4)\cdot(-3)}}{2\cdot (-4)}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x=\dfrac{1\pm\sqrt{1-48}}{-8}$

Some os valores

$x=\dfrac{1\pm\sqrt{-47}}{-8}$

Separe as soluções

$x=\dfrac{1-\sqrt{-47}}{-8}~~~\mathtt{ou}~~x=\dfrac{1+\sqrt{-47}}{-8}$

Sabendo que $\sqrt{m\cdot n}=\sqrt{m}\cdot \sqrt{n}$ e $\sqrt{-1}=i$, sendo $i$ a unidade imaginária, teremos

$x=\dfrac{1-i\sqrt{47}}{-8}~~~\mathtt{ou}~~x=\dfrac{1+i\sqrt{47}}{-8}$

Multiplique ambas as frações por $\dfrac{-1}{-1}$

$x=\dfrac{-1+i\sqrt{47}}{8}~~~\mathtt{ou}~~x=\dfrac{-1-i\sqrt{47}}{8}$

Estas são as raízes da função. Neste caso, vemos que ela não apresenta raízes reais e logo não intersecta o eixo das abcissas, pois o valor do discriminante delta $\Delta<0$.

No estudo do sinal da função, podemos determinar se ela apresenta ponto de máximo ou mínimo. Dada a função $y=ax^2+bx+c$, quando $a>0$, a função apresenta ponto mínimo e quando $a<0$, a função apresenta ponto máximo.

Dessa forma, vimos que $a=-4$, logo esta função apresenta ponto máximo.

Seu vértice está nas coordenadas $(x_v,~y_v)$, tal que as fórmulas para determinarmos estas coordenadas são:

$x_v=-\dfrac{b}{2a}~~~e~~~y_v=-\dfrac{\Delta}{4a}$

Substituindo os valores que já conhecemos, teremos

$x_v=-\dfrac{-1}{2\cdot(-4)}~~~e~~~y_v=-\dfrac{-47}{4\cdot(-4)}$

Multiplique os valores

$x_v=-\dfrac{-1}{-8}~~~e~~~y_v=-\dfrac{-47}{-16}$

Simplifique as frações

$x_v=-\dfrac{1}{8}~~~e~~~y_v=-\dfrac{47}{16}$

Logo, as coordenadas do vértice são $V~\left(-\dfrac{1}{8},~-\dfrac{47}{16}\right)$.

b)  $y=5+6x-x^2$

Igualamos a função a zero:

$5+6x-x^2=0$

Substituindo os valores dos coeficientes na fórmula resolutiva descrita acima, teremos as raízes:

$x=\dfrac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot(-1)\cdot 5}}{2\cdot (-1)}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+20}}{-2}$

Some os valores

$x=\dfrac{-6\pm\sqrt{56}}{-2}$

Decompondo o radicando em fatores primos, obtemos $56=2^3\cdot 7$, logo

$x=\dfrac{-6\pm2\sqrt{14}}{-2}$

Separe as soluções

$x=\dfrac{-6-2\sqrt{14}}{-2}~~~\mathtt{ou}~~~x=\dfrac{-6+2\sqrt{14}}{-2}$

Simplifique as frações

$x=3+\sqrt{14}~~~\mathtt{ou}~~~x=3-\sqrt{14}$

Estas são as raízes desta função.

A partir do estudo do sinal, vemos que $a=-1$, logo assim como a função anterior, esta apresenta ponto máximo.

Então, calculemos as coordenadas dos seus vértices pelas fórmulas descritas anteriormente, substituindo os valores que conhecemos

$x_v=-\dfrac{6}{2\cdot(-1)}~~~e~~~y_v=-\dfrac{56}{4\cdot(-1)}$

Multiplique os valores

$x_v=-\dfrac{6}{-2}~~~e~~~y_v=-\dfrac{56}{-4}$

Simplfiique as frações

$x_v=3~~~e~~~y_v=14$

Logo, as coordenadas dos vértices são $V~(3,~14)$

Veja as imagens em anexo: O gráfico das funções foram esboçadas no plano cartesiano.