Question

Determine quantas raízes esta equação possui e quais são elas, Observe a função e diga se ela possui ponto de máximo ou de mínimo. Quais são as coordenadas do seu vértice?

y= 3x^ -8x​

Answer 1

Olá, bom dia.

Devemos analisar algumas propriedades da função $y=3x^2-8x$ para resolvermos as alternativas.

Para encontrarmos suas raízes, fazemos com que $y=0$. Teremos:

$3x^2-8x=0$

$x$ é um fator comum em evidência, podemos fazer com que:

$x\cdot (3x-8)=0$

Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores é igual a zero, logo

$x=0$ ou $3x-8=0$

Na segunda equação, adicione 8 em ambos os lados da equação

$3x=8$

Divida ambos os lados da equação por 3

$x=\dfrac{8}{3}$

Logo, as raízes dessa função são $x=0$ ou $x=\dfrac{8}{3}$.

Para sabermos se ela tem ponto de máximo ou mínimo, devemos estudar o sinal da função. Dada uma função da forma: $y=ax^2+bx+c$, quando $a>0$, sua concavidade está voltada para cima e a função tem ponto mínimo. Quando $a<0$, a concavidade está voltada para baixo e a função tem ponto máximo.

Então, como podemos ver na nossa função, $a=3$. Logo, a função tem ponto mínimo.

Para encontrarmos as coordenadas do vértice, utilizamos as fórmulas:

$x_v=-\dfrac{b}{2\cdot a}~~~~~~~y_v=-\dfrac{\Delta}{4\cdot a}$, tal que $\Delta$ é o discriminante delta, calculado pela fórmula $\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c$.

Substituindo nossos coeficientes na fórmula, temos

$x_v=-\dfrac{-8}{2\cdot 3}~~~~~~~y_v=-\dfrac{(-8)^2-4\cdot3\cdot0}{4\cdot 3}$

Multiplique os valores e simplifique as frações

$x_v=\dfrac{4}{3}~~~~~~~y_v=-\dfrac{16}{3}$

As coordenadas do vértice dessa função são $\left(\dfrac{4}{3},~-\dfrac{16}{3}\right)$.