Question

Determine, quando existir, o termo independente de x:
a) (x^5 + 2/x)^8
b) (x+ 2/x)^5

*Alguém poderia me explicar pq não existe termo independente nessas duas letras?

Answer 1

Da teoria de Binômio de Newton:
$(a+b)^n \\ \\ T_{p+1}={n\choose p}.(a^{(n-p)}.b^p)$

$(x^5+ \frac{2}{x})^8 \\ \\ a=x^5 \\ \\ b=\frac{2}{x} \\ \\ n=8 \\ \\ T_{p+1}={n\choose p}.(a^{(n-p)}.b^p) =T_{p+1}={8\choose p}.(x^5^{{^{(8-p)}}}.(\frac{2}{x})^{p})= \\ \\ ={8\choose p}.(x^5{^{(8-p)}}.(2x^{-1})^{p} )={8\choose p}.(x^5{^{(8-p)}}.(2^{p}.x^{-p}) )= \\ \\ ={8\choose p}.(2^p.x^{(5{^{({8-p)}}{-p)}}})$

Para que o termo seja independente de x, o expoente desta variável deve ser zero. Logo:

$x^0=x^{(5{^{({8-p)}}{-p)}}}) \\ \\ 5{^{({8-p)}}{-p}} =0$

Logo não existe solução para que p seja um número inteiro.

Resposta: A expressão (x^5 + 2/x)^8 não possui um termo independente de x.