Question

Determine quais são os pontos críticos da função e classifique cada um como máximo relativo, minimo relativo ou ponto de sela.
1. f(x,y)=x²+2y²-xy+14y
2. f(x,y)=xy+8/x+8/y
3. f(x,y)=2x³+y³+3x²-3y-12x-4

Answer 1

2. $f(x,y)=xy+\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{y}$

Búsqueda de puntos estacionarios
$f_x=y-\dfrac{8}{x^2}=0\to y=\dfrac{8}{x^2}\\\\ f_y=x-\dfrac{8}{y^2}=0\to x-\dfrac{x^4}{8}=0\\ \ x^4-8x=0\iff x(x^3-8)=0\iff x=2$

El único punto estacionario es (2,2)

Veamos qué tipo de punto es
$f_{xx}=\dfrac{24}{x^3}\wedge f_{yy}=\dfrac{24}{y^3}\wedge f_{xy}=1\\ \\ \Delta_1(x,y)=\dfrac{24}{x^3}\to\boxed{\Delta_1(2,2)=3}\\ \\ \Delta_2(x,y)=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2=\dfrac{24^2}{x^3y^3}-1\\ \\ \boxed{\Delta_2(2,2)=26\ \textgreater \ 0}$

Por lo tanto (2,2) es un punto de mínimo