Question

Determine q equação da reta perpendicular a reta Y=X e que passa pela interseção das retas 2x-3y-1=0 e 3x-y-2=0.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Abner, que a resolução é simples.
Pede-se para determinar a equação da reta perpendicular à reta y = x e que passa no ponto de intersecção das retas abaixo:

reta "r" ---> 2x - 3y - 1 = 0
e
reta "s" ---> 3x - y - 2 = 0

Veja: primeiro vamos isolar "y" em cada uma das retas acima. Assim:

i) Isolando "y" na reta "r":

2x - 3y - 1 = 0 ---- isolando "y", teremos:
-3y = - 2x + 1 ---- multiplicando ambos os membros por "-1", ficamos:
3y = 2x - 1
y = (2x-1)/3    . (I)

ii) Isolando "y" na reta "s":

3x - y - 2 = 0 ---- isolando "y", teremos;
- y = - 3x + 2 ---- multiplicando ambos os membros por (-1), teremos:
y = 2x - 2    . (II)

iii) Agora veja: o ponto de intersecção dar-se-á quando as duas retas forem iguais. Então vamos igualar a expressões (I) e (II). Então:
 
(2x-1)/3 = 2x - 2 ------ multiplicando-se em cruz, temos:
2x - 1 = 3*(2x-2)
2x - 1 = 6x - 6 ------ passando todo o 1º membro para o 2º, teremos:
0 = 6x - 6 - 2x + 1 ----- reduzindo os termos semelhantes:
0 = 4x - 5 ---- vamos apenas inverter, ficando:
4x - 5 = 0
4x = 5
x = 5/4 <--- Este é o valor da abscissa  "x" no ponto de intersecção.

Agora, para encontrar o valor de "y" vamos em quaisquer uma das expressões [ou na (I) ou na (II)] e, em quaisquer uma delas, substituiremos "x" por "5/4". Vamos na expressão (II), que é esta:

y = 2x-2 ---- substituindo-se "x' por "5/4, teremos:
y = 2*5/4 - 2
y = 10/4 - 2 ----- mmc = 4. Assim:
y = (1*10-4*2)/4
y = (10-8)/4
y = (2)/4
y = 2/4 --- dividindo-se numerador e denominador por "2", ficaremos:
y = 1/2 <---- Este é o valor da ordenada "y" no ponto de intersecção.

Assim, o ponto de intersecção (x; y) terá as seguintes coordenadas:
(5/4; 1/2) <--- Este é o ponto de intersecção entre as retas "r" e "s".

iv) Agora vamos encontrar a equação da reta que passa no ponto de intersecção encontrado aí em cima [(5/4; 1/2)] e que é perpendicular à reta de equação y = x.

Veja: quando duas retas são perpendiculares, o produto dos seus respectivos coeficientes angulares é igual a "-1".
Nota-se que o coeficiente angular da reta y = x é "1" (pois é o coeficiente de "x" após isolado "y"). Então se multiplicarmos "1" pelo coeficiente angular (m₂) da reta  que é perpendicular a ela, teremos:

m₂*1 = - 1
m₂ = -1/1
m₂ = -1 <--- Este será o coeficiente angular da reta que é perpendicular à reta y = x.

v) Agora veja: quando já conhecemos o coeficiente angular (m) de uma reta e apenas um ponto (xo; yo) por onde ela passa, a sua equação é encontrada da seguinte forma:

y - yo = m*(x - xo)

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então a reta que tem coeficiente angular igual a "-1" (m₂ = -1) e que passa no ponto (5/4; 1/2) terá a sua equação encontrada da seguinte forma:

y - 1/2 = (-1)*(x - 5/4) ---- desenvolvendo, teremos:
y - 1/2 = -x + 5/4 ----- passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:
y - 1/2 + x - 5/4 = 0 ----- mmc entre "2" e "4" = 4. Assim, utilizando-o no 1º membro, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der multiplica-se pelo numerador):

(4*y - 2*1 + 4*x - 1*5)/4 = 0 -------- desenvolvendo, teremos:
(4y - 2 + 4x - 5)/4 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes:
(4y + 4x - 7)/4 = 0 ----- multiplicando em cruz, teremos:
4y - 4x - 7 = 4*0
4y - 4x - 7 = 0  ------ ordenando, ficaremos com:
4x + 4y - 7 = 0 <--- Esta é a equação da reta perpendicular à reta y = x e que passa no ponto (5/4; 1/2) .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Em ii) quando isola o ''y'',nao seria 3x? ao inves de 2x?