Question

Determine, pelo método de Newton-Raphson, a raiz da função
f(x) = x^3 - 2x^2 + 2x - 5 próxima de Xo = 2

Answer 1

Olá

Método de Newton-Raphson é dado pela formula


$\displaystyle x_{k+1}=x_0- \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \\ \\ \\ \text{Calculando a derivada de f(x)} \\ \\ \\ f(x)=x^3-2x^2+2x-5 \\ \\\boxed{ f'(x)=3x^2-4x+2} \\ \\ \\ \text{Como o enunciado ja deu o ponto Xo, agora basta substituir e } \\ \text{encontrar a primeira iteracao}$

$\displaystyle x1=2- \frac{f(2)}{f'(2)} \\ \\ \\ x1=2- \frac{(2)^3-2(2)^2+2(2)-5}{3(2)^2-4(2)+2} \\ \\ \\ x1=2- \frac{-1}{6} \\ \\ \\ x1=2+0,1666\\\\\\\boxed{x1=2,1666 }~~~ ~~\longleftarrow~~~~ primeira~ iteracao$

Agora temos que refazer o mesmo processo, so que o Xo vai ser 2,1666 (que encontramos na iteração anterior) até que as iterações se repitam

$\displaystyle x2=(2,1666)- \frac{f(2,1666)}{f'(2,1666)} \\ \\ \\ x2=(2,1666)- \frac{(2,1666)^3-2(2,1666)^2+2(2,1666)-5}{3(2,1666)^2-4(2,1666)+2} \\ \\ \\ x2=(2,1666)- \frac{0,1152}{7,4160} \\ \\ \\ x2=(2,1666)-(0,015)\\ \\\\ \boxed{x2= 2,1516} ~~~ ~~\longleftarrow~~~~ segunda~ iteracao$

Nosso Xo agora será 2,1516

$\displaystyle x3=(2,1516)- \frac{f(2,1516)}{f'(2,1516)} \\ \\ \\ x3=(2,1516)- \frac{(2,1516)^3-2(2,1516)^2+2(2,1516)-5}{3(2,1516)^2-4(2,1516)+2} \\ \\ \\ x3=(2,1516)- \frac{0,0050}{7,2817} \\ \\ \\ x3=(2,1516)-(0,0006 )\\\\\\ \boxed{x3=2,151 } ~~~ ~~\longleftarrow~~~~ terceira~ iteracao$

Xo será 2,151

$\displaystyle x3=(2,151)- \frac{f(2,151)}{f'(2,151)} \\ \\ \\ x3=(2,151)- \frac{(2,151)^3-2(2,151)^2+2(2,151)-5}{3(2,151)^2-4(2,151)+2} \\ \\ \\ x3=(2,151)- \frac{0,0006}{7,2764} \\ \\ \\ x3=(2,151)-(0,0000 )\\\\\\ \boxed{x3=2,151 } ~~~ ~~\longleftarrow~~~~ quarta~ iteracao$

Note que a iteração se repetiu, isso implica que 2,151 é a raiz da função