Question

determine pela definição , a derivada da função y=3x^2-4x+8.

Answer 1

Amigo, percebi que você gostaria da resolução pela definição de derivada. Vou reformular minha resposta.

A definição de derivada é a seguinte:

$f'(x)= \lim_{h \to \ 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Neste caso, temos:

$f(x+h)=3 (x+h)^{2}-4(x+h)+8 \\ \\ f(x+h)=3 ( x^{2} +2xh+ h^2)-4x-4h+8 \\ \\ f(x+h)=3 x^{2} +6xh+3 h^{2}-4x-4h+8$

Portanto:

$f'(x)= \lim_{h \to \ 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ \\ f'(x)= \lim_{h \to \ 0} \frac{3 x^{2} +6xh+3 h^{2}-4x-4h+8 -(3 x^{2} -4x+8)}{h} \\ \\ f'(x)= \lim_{h \to \ 0} \frac{6xh+3 h^{2}-4h }{h} \\ \\ f'(x)= \lim_{h \to \ 0} \frac{h(6x+3 h-4) }{h} \\ \\ f'(x)= \lim_{h \to \ 0} \ 6x+3h-4 \\ \\ f'(x)= \lim_{h \to \ 0} \ 6x+3.0-4 \\ \\ f'(x)= \lim_{h \to \ 0} \ 6x-4$

Desculpe a má interpretação. Acima está o correto.