Question

Determine, passo a passo, a derivada primeira da função:
y = ln (1+x) / (1 - x)

Answer 1

A derivada da função dada é

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y'=\frac{\dfrac{1}{1+x} \cdot (1-x)+(\ln (1+x))}{(1-x)^2}\end{gathered} }$

Desejamos calcular a derivada da seguinte função:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} y=\frac{\ln (1+x)}{(1-x)}\end{gathered}$

Para resolver a mesma, iremos aplicar a derivada do quociente dada por

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} \left( \frac{f}{g}\right)'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}\end{gathered}$

Sabendo que o Lnx é igual a

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x)=\ln x \Leftrightarrow f'(x)=\frac{1}{x} \end{gathered}$

Aplicando na sua questão, temos que

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} y'=\frac{\left(\ln (1+x)\right)' \cdot (1-x)-(\ln (1+x))\cdot (1-x)'}{(1-x)^2}\end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore \boxed{y'=\frac{\dfrac{1}{1+x} \cdot (1-x)+(\ln (1+x))}{(1-x)^2}}\end{gathered} }$

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