Question

Determine os vetores u=(1,2,3),e v =(2,-1,0)determine o seu produto vetorial e mostre que é um vetor ortogonal a u e a v.(sugestão :se a ⊥ u então a x u =0)

Answer 1

$u(1,2,3)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,v(2,-1,0)\\\\\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&2&3\\2&-1&0\end{array}\right] \\\\\\Calculando\,\,o\,\,determinante\,\,D\,\,utilizando-se\,\,da\,\,Regra\,\,de\,\,Sarrus\\\\\\\\D=\left[\begin{array}{ccccc}i&j&k&i&k\\1&2&3&1&2\\2&-1&0&2&-1\end{array}\right]$


$D=i\cdot2\cdot0+j\cdot3\cdot2+k\cdot1\cdot(-1)-[k\cdot1\cdot0+i\cdot3\cdot(-1)+k\cdot2\cdot2]\\D=6j-k-(-3i+4k)\\D=6j-k+3i-4k\\D=3i+6j-5k$

Sabemos que D é o determinante da Matriz e esse determinante é um novo vetor que chamaremos de w. Mostraremos que o vetor w é ortogonal a u e a v.

Sabemos que:

w⊥ u <=> $w\cdot{u} = 0$

Dados os vetores, calculemos

$u\cdot{w}=1\cdot3+2\cdot6+3\cdot(-5)\\u\cdot{w}=3+12-15\\u.w=0\,\,\,\checkmark\,\,\,=>\,\,w \perp{u}$

Sabemos que:

w⊥ v <=>  $w\cdot{v} = 0$

Dados os vetores, calculemos

$v\cdot{w}=2\cdot3+(-1)\cdot6+0\cdot(-5)\\v\cdot{w}=6-6+0\\v.w=0\,\,\,\checkmark\,\,\,=>\,\,w \perp{v}$