Question

Determine os valores X, nos triângulos abaixo:

Answer 1

Resposta:

a) $x = 5\sqrt{2}$

b) $x = \sqrt{\frac{145}{10}}$

Explicação passo-a-passo:

Lembrando-se da Lei dos Senos, têm-se:

$\frac{a}{senA} = \frac{b}{senB} = \frac{c}{senC}$

À partir da aplicação da formula, fica fácil de se resolver, observe:

a) Vamos definir quem é quem, vou considerar que A seja o ângulo de 30°, e o B seja o de 45°.

Aplicando a formula:

$\frac{5}{sen30} = \frac{x}{sen45}$

Agora é só resolver...

$\frac{5}{\frac{1}{2}} = \frac{x}{\frac{\sqrt2}{2}}\\\frac{5}{1} \times \frac{2}{1} = \frac{x}{1} \times \frac{2}{\sqrt{2}}\\ \frac{10}{1} = \frac{2x}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\10 = \frac{2x\sqrt{2}}{2}\\x\sqrt{2}=10\\x = \frac{10}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\x = \frac{10\sqrt{2}}{2}\\x = 5\sqrt{2}$

Agora, para a resolução da letra b, deve-se utilizar a Lei dos Cossenos:

$a^2=b^2+c^2-2bc \times cosA$

b) Considerando x, 5 e 7, respectivamente, os lados a, b, e c, têm-se:

$x^2=5^2+7^2-2\times5\times7\times \cos{30}\\x^2=25+49-70\times\frac{\sqrt{3}}{2}\\x^2=74-70\times\frac{\sqrt{3}}{2}\\x^2 = 74-35\sqrt{3}\\x = \sqrt{74-35\sqrt{3}}$

Se considerar que a raiz de 3 é aproximadamente 1.7, logo a resposta será:

$x=\sqrt{74-35\times 1.7}\\x = \sqrt{74-59.5}\\x = \sqrt{14.5}\\x = \sqrt{\frac{145}{10}}$

Answer 2

Resposta:

$\begin{cases} a)~~~ \mathsf{x =5\sqrt{2}cm} \\ \\ b)~~~ \mathsf{x \approx 4cm} \end{cases}$

Explicação passo-a-passo:

Nos triângulos destacados serão usadas as leis de seno e cosseno. Acompanhe o desenvolvimento abaixo para melhor compreensão.

1. Determine os valores de x, nós triângulos abaixo.

(item a) Observe no primeiro triângulo que temos somente dois lados, o lado que vale x e 5cm, e esses lados por sua vez são opostos em relação a dois ângulos, ou melhor, o lado x é oposto em relação ao ângulo de 45° e o lado de 5cm é oposto em relação ao ângulo de 30°. Deste modo, podemos aplicar a LEI SENOS, portanto, a razão entre cada lado e o respectivo seno do ângulo oposto é constante, matematicamente,

$\Rightarrow\mathsf{\dfrac{x}{sen~(45^{\circ})} = \dfrac{5}{sen~(30^{\circ})}}$

$\Leftrightarrow \mathsf{x* sen~(30^{\circ}) = 5 * sen~(45^{\circ})}$

Observações: é perceptível que tratam-se de ângulos especiais, e é crucial conhecer os seus valores, bom, o $\mathsf{sen(30^\circ) = \dfrac{1}{2} }$ e o $\mathsf{sen(45^\circ) = \dfrac{\sqrt{2} }{2} }$, destarte efectue as respectivas substituições,

$\Leftrightarrow \mathsf{x* \dfrac{1}{2} = 5 * \dfrac{\sqrt{2} }{2}}$

$\Leftrightarrow \mathsf{x* \dfrac{1}{ \cancel{\green{2}}} = 5 * \dfrac{\sqrt{2} }{\cancel{\green{2}}}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{x = 5\sqrt{2}cm}}}}$

(item b) é observável que temos apenas três lados (sendo um deles desconhecido) e um ângulo, portanto, podemos recorrer a LEI DOS COSSENOS, portanto, o quadrado de um dos lados é igual a diferença entre soma dos quadrados dos outros ângulos com o dobro do produto entre os dois lados e o cosseno do ângulo oposto, traduzindo matematicamente,

$\mathsf{ x^2 = 7^2 + 5^2 - 2*7*5* \green{cos(30^\circ)}}$

$\mathsf{ x^2 = 49 + 25 - 70* \green{\dfrac{\sqrt{3} }{2} }}$

$\mathsf{ x^2 = 74 - 35* \green{\sqrt{3}}}$

$\mathsf{ x^2 = 74 - 35* \green{(1,73)}}$

$\mathsf{ x^2 = 74 - 60,55}$

$\mathsf{ x^2 = 13,45}$

$\mathsf{ x = \sqrt{13,45} }$

, com o auxílio da calculadora científica concluí-se que,

$\mathsf{x = 3,66cm}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{x \approx 4cm}}}}$ <= lembrando que está aproximação é opcional!)

Espero ter colaborado!)