Question

Determine os valores reais que satisfazem as equações modulares:
a) │ x²- 7x +9│= 3
b) │2x -1│= -x + 3

Answer 1

Resposta:

a) S={1,3,4,6}

b) S={-2, 4/3}

Explicação passo-a-passo:

a) │x²- 7x +9│= 3

x²- 7x +9= ±3

1a solução:

x²- 7x +9= 3

x²- 7x +9- 3=0

x²- 7x +6=0

$\displaystyle Aplicando~a~f\'{o}rmula~de~Bhaskara~para~x^{2}-7x+6=0~~\\e~comparando~com~(a)x^{2}+(b)x+(c)=0,~temos~a=1{;}~b=-7~e~c=6\\\\\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)=(-7)^{2}-4(1)(6)=49-(24)=25\\\\x^{'}=\frac{-(b)-\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-7)-\sqrt{25}}{2(1)}=\frac{7-5}{2}=\frac{2}{2}=1\\\\x^{''}=\frac{-(b)+\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-7)+\sqrt{25}}{2(1)}=\frac{7+5}{2}=\frac{12}{2}=6\\\\S=\{1,~6\}$

Testando as soluções encontradas:

Para x=1

│1²- 7.1 +9│= 3 => │1-7+9│= 3 => │3│= 3  => 3=3 (verdadeiro)

Para x=6

│6²- 7.6 +9│= 3 => │36-42 +9│= 3 =>  │3│= 3 => 3=3 (verdadeiro)

2a solução:

x²- 7x +9= -3

x²- 7x +9+3=0

x²- 7x +12=0

$\displaystyle Aplicando~a~f\'{o}rmula~de~Bhaskara~para~x^{2}-7x+12=0~~\\e~comparando~com~(a)x^{2}+(b)x+(c)=0,~temos~a=1{;}~b=-7~e~c=12\\\\\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)=(-7)^{2}-4(1)(12)=49-(48)=1\\\\x^{'}=\frac{-(b)-\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-7)-\sqrt{1}}{2(1)}=\frac{7-1}{2}=\frac{6}{2}=3\\\\x^{''}=\frac{-(b)+\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-7)+\sqrt{1}}{2(1)}=\frac{7+1}{2}=\frac{8}{2}=4\\\\S=\{3,~4\}$

Testando as soluções encontradas:

Para x=3

│3²- 7.3 +9│= 3 =>│9-21+9│= 3 => │-3│= 3 => 3=3 (verdadeiro)

Para x=4

│4²- 7.4 +9│= 3 =>│16-28+9│= 3 => │-3│= 3 => 3=3 (verdadeiro)

b) │2x -1│= -x + 3

2x -1= ±(-x + 3)

1a solução:

2x -1= (-x + 3)

2x+x=3+1

3x=4

x=4/3

Testando as soluções encontradas:

Para x=4/3

│2(4/3) -1│= -(4/3) + 3 => │(8 -3)/3│= (-4+9)/3 =>  │5/3│= 5/3 => 5/3=5/3 (verdadeiro)

2a solução:

2x -1= -(-x + 3)

2x-1=x-3

2x-x=1-3

x= -2

Para x= -2

│2(-2) -1│= -(-2) + 3 => │-4-1│= 2+3 =>  │-5│= 5 => 5=5 (verdadeiro)