Question

Determine os valores reais de x que satisfazem a inequação dada. Mostre todo o desenvolvimento da questão:
(x + 6)7 (6x − 2)4 (4x + 5)10 ≤ 0

Answer 1

$\displaystyle \sf (x+6)^7\cdot (6x-2)^{4}\cdot (4x+5)^{10} \leq 0$

1º passo : Analisar as raizes da função e se ela é crescente ou decrescente.

$\displaystyle \sf (x+6) \ ra\'iz} : x+6= 0\to x=-6 \ \ \ crescente\ logo\ ap{\'os} \ ra\'iz}\ {\'e} \ positiva\\\\ (6x-2)\ ra\'iz}: \ 6x-2=0 \to x = \frac{1}{3}\ \ \ crescente\ logo\ ap{\'os} \ ra\'iz}\ {\'e} \ positiva\\\\\\ (4x+5)\ ra\'iz} :\ 4x+5=0\to x = \frac{-5}{4}\ \ crescente\ logo\ ap{\'os} \ ra\'iz}\ {\'e} \ positiva$

2º passo : Colocar as raízes em ordem crescente na reta real com os respectivos sinais da função.

$\displaystyle \sf (x+6)^7\ : \underline{ \ -\ (-6)\ \ + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \+\ \ + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + }\\\\\\ (4x+5)^{10}: \underline{- \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \left(\frac{-5}{4}\right)\ \ \ \ + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ }\\\\\\ (6x-2)^{4}:\underline{\ -\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ \ \left(\frac{1}{3}\right)\ \ \ \ \ \ + }}$

3º passo : os expoentes com índice par ficarão todos positivos, e os de índice ímpar permanecerão iguais :

$\displaystyle \sf (x+6)^7\ : \underline{ \ -\ (-6)\ \ + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \+\ \ + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + }\\\\\\ (4x+5)^{10}: \underline{+ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \ \ \ \left(\frac{-5}{4}\right)\ \ \ \ + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ }\\\\\\ (6x-2)^{4}:\underline{\ +\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ \ \left(\frac{1}{3}\right)\ \ \ \ \ \ + }}$

4º passo : fazer o produto das função e dos respectivos sinais :

$\displaystyle \sf (x+6)^7\ : \underline{ \ -\ (-6)\ \ + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \+\ \ + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + }\\\\\\ (4x+5)^{10}: \underline{+ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \ \ \ \left(\frac{-5}{4}\right)\ \ \ \ + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ }\\\\\\ (6x-2)^{4}:\underline{\ +\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ \ \left(\frac{1}{3}\right)\ \ \ \ \ \ + }}$

$\displaystyle \sf Protudo: \underline {- \ \ (-6) \ \ + \ \ \left(\frac{-5}{4}\right)\ \ + \ \ \left(\frac{1}{3}\right) \ \ + \ }$

A questão pede o valores onde é menor ou igual a 0, então :

$\displaystyle \sf \boxed{\sf S = \left\{ x\in\mathbb{R}\ | \ x\leq -6 \ \ \ ou\ \ x=\frac{-5}{4}\ \ \ ou \ x=\frac{1}{3} \right\}}\checkmark$