Question

Determine os valores reais de x para os quais raiz de
10 − 2|x + 3| existe.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Pedroverdan, que a resolução é simples.
Pede-se para determinar os valores reais de "x" para que se tenha a seguinte expressão, que vamos chamá-la de um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

y = √(10-2|x+3)|)

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Note que radicais de índice par só aceitam radicandos que sejam maiores ou iguais a zero. Assim, vamos impor que o radicando seja maior ou igual a zero. Dessa forma, imporemos isto:

10 - 2|x+3| ≥ 0 ---- passando-se "10" para o 2º membro, teremos;
- 2|x+3) ≥ - 10 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficaremos:
2|x+3| ≤ 10

Veja: quando multiplicamos uma desigualdade por "-1" o seu sentido muda (o que era "≥" passa para "≤" e vice-versa).
Assim, continuando, temos que:

2|x+3| ≤ 10 ----- isolando "|x+3|, teremos:
|x+3| ≤ 10/2
|x+3| ≤ 5         . (I)

ii) Agora vamos para as condições de existência de funções modulares.

ii.1) Note que a expressão (I) acima, por ser modular, é equivalente a:

- 5 ≤ x+3 ≤ 5

Veja: o nosso intento é deixar "x" sozinho no membro do meio da desigualdade acima. Para isso, subtrairemos "3" de cada membro da desigualdade, com o que ficaremos assim:

-5 - 3 ≤ x+3 - 3 ≤ 5 - 3 ------ desenvolvendo, teremos:

- 8 ≤ x ≤ 2 ------ Pronto. Esta é a resposta. Este será o intervalo de valores reais que "x" pode assumir para que exista a expressão originalmente dada, que era: √(10-2|x+3|)

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.