Question

Determine os valores reais de K para que ponto P(k,3) seja interior a` circunferência λ de equação (x−5)2 +(y−1)2 =20.

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas em geometria analítica.

Devemos determinar os valores reais de $k$ de modo que o ponto $P~(k,~3)$ seja interior à circunferência $\lambda: (x-5)^2+(y-1)^2=20$.

Lembre-se que a uma equação reduzida de circunferência de centro $(x_c,~y_c)$ e raio $R$ é igual a $(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=R^2$.

Assim, ao compararmos as equações, temos que as coordenadas do centro são $(5,~1)$ e a medida de seu raio é igual a $R=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

Para que um ponto seja interior à circunferência, sua distância ao centro deve ser menor que o raio.

A distância d entre dois pontos de coordenadas $(x_1,~y_1)$ e $(x_2,~y_2)$ é calculada pela fórmula: $d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$.

Substituindo as coordenadas do ponto $P$ e do centro da circunferência na fórmula, temos:

$d=\sqrt{(k-5)^2+(3-1)^2}$

Some os valores e calcule a potência

$d=\sqrt{(k-5)^2+2^2}\\\\\\ d=\sqrt{(k-5)^2+4}$

Então, faça $d<R$.

$\sqrt{(k-5)^2+4}<2\sqrt{5}$

Eleve ambos os lados das desigualdades à segunda potência

$(k-5)^2+4<20$

Subtraia $4$ em ambos os lados da desigualdade

$(k-5)^2<16$

Calcule a raiz em ambos os lados da desigualdade

$\sqrt{(k-5)^2}<\sqrt{16}\\\\\\ |k-5|<4$

Resolva a inequação modular, lembrando que se $|x|<y,~-y<x<y$.

$-4<k-5<4$

Some $5$ em ambos os lados das desigualdades

$1<k<9$

Assim, para todo valor real de $k$, pertencente ao intervalo $]1,~9[$, o ponto $P$ será interior à circunferência $\lambda$.