Matemática, perguntado por raissaadrielesilva, 9 meses atrás

Determine os valores do coeficiente A B e C nas equações do segundo grau abaixo classifique-as em completa ou incompleta e Encontre suas raízes observando exemplos anteriores A)X elevado a 2 menos 10x + 21 = 0
B)-x^2+14x-49=0
C)x^2-2x+5=0
D) x^2+x-12=0
E)x^2+8x=0
F)x^2-81=0
G)3x^2-15x=0
H)4x^2-49=0
I)x^2-2x+1=0
J)2x^2-x-10=0

Soluções para a tarefa

Respondido por luanafbh2

Para responder precisamos saber como determinar os valores dos coeficientes, o que faz as equações do 2º grau serem completas ou incompletas e como encontrar suas raízes.

O que são os coeficientes da equação do 2º grau?

São os números que acompanham os termos x², x e que aparecem sem a variável ao lado.

a → número que acompanha o x²

b → número que acompanha o x

c → número que vem sozinho.

Quando algum destes termos não aparece na equação, isso significa que eles valem zero. Quando os termos aparecem sem nenhum número ao lado, o coeficiente é 1. ou -1, dependendo do sinal que estiver antes deles.

O que são equações completas e incompletas?

Elas são completas quando temos todos os coeficientes b e c diferentes de zero. E incompletas quando b, c ou ambos são iguais a zero.

Como encontrar as raízes da equação?

As equações incompletas podem ser resolvidas por fatoração e para as completas utilizamos a fórmula de Bhaskara que consiste em:

$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4.a.c}}{2.a}$

Chamamos o termo dentro da raiz de discriminante ou delta.

$\Delta= b^2-4.a.c$

Assim, a fórmula fica:

$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2.a}$

Vamos então ao exercício:

a) x² - 10x + 21

→ a = 1 | b = -10 | c = 21

→ Equação Completa

→ Raízes: x₁ = 7 e x₂ = 3

$Calculando \ \Delta:\\\\\Delta = (-10)^2-4.1.21\\\Delta = 100 - 84\\\Delta = 16\\\sqrt{\Delta} = \sqrt{16} = 4\\\\Encontrando \ raizes:\\\\x_1 = \dfrac{-(-10)+4}{2.1} = \dfrac{10+4}{2} = 7\\\\x_2 = \dfrac{-(-10)-4}{2.1} = \dfrac{10-4}{2} = 3\\\\$

b) -x² + 14x - 49

→ a = -1 | b = 14 | c = -49

→ Equação Completa

→ Raízes: x₁ = 7 e x₂ = 7

Chamamos de raiz dupla, quando ocorre das duas raízes encontradas serem iguais. Isso significa que a equação tem 1 raiz.

$Calculando \ \Delta:\\\\\Delta = (14)^2-4.(-1).(-49)\\\Delta = 196 - 196\\\Delta = 0\\\sqrt{\Delta} = \sqrt{0} = 0\\\\Encontrando \ raizes:\\\\x_1 = \dfrac{-14+0}{2.(-1)} = \dfrac{-14}{-2} = 7\\\\x_2 = \dfrac{-14-0}{2.(-1)} = \dfrac{-14}{-2} = 7\\\\$

c) x² - 2x + 5

→ a = 1 | b = -2 | c = 5

→ Equação Completa

→ Raízes: não possui raízes reais.

$Calculando \ \Delta:\\\\\Delta = (-2)^2-4.1.5\\\Delta = 4 - 20\\\Delta = -16\\\sqrt{\Delta} = \sqrt{-16} \notin \mathbb{R}\\\\$

Como não existe raiz quadrada de -16 dentro do conjunto dos reais, logo não há como encontrar as raízes.

d) x² + x - 12

→ a = 1 | b = 1 | c = -12

→ Equação Completa

→ Raízes: x₁ = 3 e x₂ = -4

$Calculando \ \Delta:\\\\\Delta = (1)^2-4.1.(-12)\\\Delta = 1 + 48\\\Delta = 49\\\sqrt{\Delta} = \sqrt{49} = 7\\\\Encontrando \ raizes:\\\\x_1 = \dfrac{-1+7}{2.1} = \dfrac{6}{2} = 3\\\\x_2 = \dfrac{-1-7}{2.1} = \dfrac{-8}{2} = -4\\\\$

e) x² + 8x

→ a = 1 | b = 8 | c = 0

→ Equação Incompleta

→ Raízes: x₁ = 0 e x₂ = -8

Cálculo das raízes:

x² + 8x = 0 → x(x + 8) = 0

x = 0

x + 8 = 0 → x = -8

f) x² - 81

→ a = 1 | b = 0 | c = -81

→ Equação Incompleta

→ Raízes: x₁ = 9 e x₂ = -9

Cálculo das raízes:

x² - 81 = 0

x² = 81

x = √81

x = 9 ou x = -9

g) 3x² - 15x

→ a = 3 | b = -15 | c = 0

→ Equação Incompleta

→ Raízes: x₁ = 0 e x₂ = 5

Cálculo das raízes:

3x² - 15x = 0 → 3x(x - 5) = 0

3x = 0 → x = 0

x - 5 = 0 → x = 5

h) 4x² - 49

→ a = 4 | b = 0 | c = -49

→ Equação Incompleta

→ Raízes: x₁ = 7/2 e x₂ = -7/2

Cálculo das raízes:

4x² - 49 = 0

4x² = 49

x² = 49/4

x = √49/√4

x = 7/2 ou x = -7/2

i) x² - 2x + 1

→ a = 1 | b = -2 | c = 1

→ Equação Completa

→ Raízes: x₁ = 1 e x₂ = 1

$Calculando \ \Delta:\\\\\Delta = (-2)^2-4.1.(1)\\\Delta = 4 -4\\\Delta = 0\\\sqrt{\Delta} = \sqrt{0} = 0\\\\Encontrando \ raizes:\\\\x_1 = \dfrac{-(-2)+0}{2.1} = \dfrac{2}{2} = 1\\\\x_2 = \dfrac{-(-2)-0}{2.1} = \dfrac{2}{2} = 1\\\\$

j) 2x² - x - 10

→ a = 2 | b = -1 | c = -10

→ Equação Completa

→ Raízes: x₁ = 5/2 e x₂ = -2

$Calculando \ \Delta:\\\\\Delta = (-1)^2-4.2.(-10)\\\Delta = 1 + 80\\\Delta = 81\\\sqrt{\Delta} = \sqrt{81} = 9\\\\Encontrando \ raizes:\\\\x_1 = \dfrac{-(-1)+9}{2.2} = \dfrac{10}{4} = \dfrac52\\\\x_2 = \dfrac{-(-1)-9}{2.2} = \dfrac{-8}{4} = -2\\\\$