Question

determine os valores de X¹ e X² nas equações do 2 grau abaixo

a) 3ײ-7×+4 =
b) 9ײ-12×+4 =
c) 5ײ+3×-5 =
d) 2ײ+×-3 =
e) ײ-4×-5 =​

Answer 1

Resposta:

Os sistemas de equações nada mais são do que estratégias que nos permitem resolver problemas e situações que envolvem mais de uma variável e pelo menos duas equações. Se as equações presentes no sistema envolverem apenas a adição e a subtração das incógnitas, dizemos que se trata de um sistema de equações do 1° grau. Podemos resolver esse sistema de duas formas, através da representação gráfica ou algebricamente. Na forma algébrica, dispomos de duas alternativas, o método da adição ou da substituição.

No caso de uma multiplicação entre as incógnitas ou, simplesmente, de uma delas aparecer como uma potência de expoente 2, dizemos que o sistema envolve também equações de 2° grau. Para resolver um sistema desse tipo, as estratégias são as mesmas citadas anteriormente, mas podem haver mais soluções nesse caso.

Vejamos alguns exemplos de resolução de sistemas de equações do 1° e do 2° grau:

1° Exemplo:  

Observe que, nesse exemplo, a equação x·y = 15 fornece um produto entre as incógnitas x e y, portanto, essa é uma equação do 2° grau. Para resolvê-la, vamos utilizar o método da substituição. Na segunda equação, isolaremos x:

2x – 4y = – 14

2x = 4y – 14

x = 4y – 14

    2

x = 2y – 7

Agora substituiremos x = 2y – 7 na primeira equação:

x·y = 15

(2y – 7)·y = 15

2y² – 7y – 15 = 0

Para encontrar os possíveis valores de y, utilizaremos a fórmula de Bhaskara:

Δ = b² – 4.a.c

Δ = (– 7)² – 4.2.(– 15)

Δ = 49 + 120

Δ = 169

y = – b ± √Δ​

     2.a

y = – (– 7) ± √169

      2.2

y = 7 ± 13

    4

y1 = 7 + 13

      4

y1 = 20

      4

y1 = 5

y2 = 7 – 13

     4

y2 = – 6

      4

y2 = – 3

       2

Agora podemos substituir os valores encontrados para y em x·y = 15 com o objetivo de determinar os valores de x:

x1 · y1 = 15

x1 · 5 = 15

x1 = 15

      5

x1 = 3

x2 · y2 = 15

x2 · (– 3) = 15

2  

x2 = 15 . (– 2)

             3

x2 = – 10

Podemos afirmar que a equação possui duas soluções do tipo (x, y), são elas: (3, 5) e (– 10, – 3/2).

2° Exemplo:  

Para resolver esse sistema, utilizaremos o método da adição. Para tanto, vamos multiplicar a primeira equação por – 2. Nosso sistema ficará da seguinte forma:

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

(– 2x² + 2x²) + (– 4y² – 3y²) = (– 178 + 150)

0x² – 7y² = – 28

7y² = 28

y² = 28

      7

y = ±√4

y1 = + 2

y2 = – 2

Agora nós podemos substituir os valores encontrados para y na primeira equação com o objetivo de obter os valores de x:

x² + 2y1² = 89

x² + 2.(2)² = 89

x² + 8 = 89

x² = 81

x = ±√81

x1 = + 9

x2 = – 9 x² + 2y2² = 89

x² + 2.(– 2)² = 89

x² + 8 = 89

x² = 81

x = ±√81

x3 = + 9

​x4 = – 9

Podemos afirmar que a equação possui quatro soluções: (9, 2), (– 9, 2), ( 9, – 2) e (– 9, – 2).

3° Exemplo:  

Na resolução desse sistema de equações, utilizaremos o método da substituição. Na segunda equação, vamos isolar x:

2x – 3y = 2

2x = 3y + 2

x = 3y + 2

     2

x = 3y + 1

2

Substituiremos x na primeira equação:

x² + 2y² = 1

(3y/2 + 1)² + 2y² = 1

9y² + 3y + 1 + 2y² = 1

4                            

Multiplicaremos toda a equação por 4:

9y² + 12 y + 4 + 8y² = 4

17y² + 12 y = 0

Para encontrar os possíveis valores de y, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = b² – 4.a.c

Δ = 12² – 4.17. 0

Δ = 144

y = – b ± √Δ​

    2.a

y = – 12 ± √144

     2.17

y = – 12 ± 12

     34

Y1 = – 12 + 12

        34

y1 = 0

     34

y1 = 0 y2 = – 12 – 12

     34

y2 = – 24

         34

y2 = – 12

        17

Substituindo os valores encontrados para y em 2x – 3y = 2, podemos determinar os valores de x:

2x – 3y1 = 2

2x – 3·0 = 2

2x – 0 = 2

x = 2

2 o, as estratégias são as mesmas citadas anteriormente, mas podem haver mais soluções nesse caso.

Vejamos alguns exemplos de resolução de sistemas de equações do 1° e do 2° grau:

1° Exemplo:  

Observe que, nesse exemplo, a equação x·y = 15 fornece um produto entre as incógnitas x e y, portanto, essa é uma equação do 2° grau. Para resolvê-la, vamos utilizar o método da substituição. Na segunda equação, isolaremos x:

2x – 4y = – 14

2x = 4y – 14

x = 4y – 14

    2

x = 2y – 7

Agora substituiremos x = 2y – 7 na primeira equação:

x·y = 15

(2y – 7)·y = 15

2y² – 7y – 15 = 0

Para encontrar os possíveis valores de y, utilizaremos a fórmula de Bhaskara:

Δ = b² – 4.a.c

Δ = (– 7)² – 4.2.(– 15)

Δ = 49 + 120

Δ = 169

y = – b ± √Δ​

     2.a

y = – (– 7) ± √169

      2.2

y = 7 ± 13

    4