Question

Determine os valores de x, y e z na igualdade abaixo, envolvendo matrizes reais 2 x 2;
$\left[\begin{array}{ccc}0&0\\x&0\\\end{array}\right] . \left[\begin{array}{ccc}0&x\\0&0\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}x-y&0&\\x&z\\\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}z-y&0&\\y-z&0&\\\end{array}\right]$

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre multiplicação e soma de matrizes.

Seja a equação matricial:

$\begin{bmatrix}0&0\\x&0\\\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}0&x\\0&0\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x-y&0\\x&z\\\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}z-y&0\\y-z&0\\\end{bmatrix}$

Lembre-se que o produto de duas matrizes ocorrem se, e somente se, o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. Sejam duas matrizes de ordem $m\times n$ e $n\times p$. A ordem da matriz resultante do produto destas matrizes é $m\times p$.

Cada elemento da matriz resultante é dado pela soma dos produtos dos elementos respectivos de linhas por colunas, como no exemplo de matrizes de ordem $2$: $\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21}&a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}\\a_{12}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21}&a_{12}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22}\\\end{bmatrix}$.

A soma de matrizes também ocorre se, e somente se a ordem destas matrizes for igual. Assim, cada elemento da matriz resultante é dado pela soma dos elementos respectivos de cada matriz, como no exemplo de matrizes de ordem $2$: $\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{12}+b_{12}&a_{22}+b_{22}\\\end{bmatrix}$.

Enfim, aplique a propriedade do produto e soma de matrizes na equação matricial:

$\begin{bmatrix}0\cdot0+0\cdot0&0\cdot x+0\cdot 0\\x\cdot 0+0\cdot 0&x\cdot x+0\cdot 0\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x-y+z-y&0\\x+y-z&z\\\end{bmatrix}\\\\\\\begin{bmatrix}0&0\\0&x^2\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x+z-2y&0\\x+y-z&z\\\end{bmatrix}$

Por fim, duas matrizes são ditas identicamente iguais quando, além de ordens iguais, cada um de seus elementos respectivos são iguais. Assim, teremos:

$\begin{cases}x+z-2y=0\\x+y-z =0\\x^2=z\\\end{cases}$

Substituímos a expressão da terceira linha nas primeira e segunda equações:

$\begin{cases}x+x^2-2y=0\\x+y-x^2=0\\\end{cases}$

Igualamos as equações:

$x+x^2-2y=x+y-x^2$

Subtraia $x-x^2-2y$ em ambos os lados da igualdade

$2x^2=3y$

Divida ambos os lados da equação por um fator $3$

$\dfrac{2x^2}{3}=y$

Substituindo este resultado na segunda equação, temos:

$x+\dfrac{2x^2}{3}-x^2=0$

Some as frações

$\dfrac{3x+2x^2-3x^2}{3}=0\\\\\\ \dfrac{3x-x^2}{3}$

Multiplique ambos os lados da igualdade por um fator $3$ e resolva a equação quadrática

$3x-x^2=0\\\\\\ x=0~~\bold{ou}~~x=3$

Substituindo estes resultados nas expressões que isolamos anteriormente, temos:

$y=\dfrac{2\cdot 0^2}{3}=0~~\bold{ou}~~y=\dfrac{2\cdot3^2}{3}=\dfrac{2\cdot9}{3}=6$

$z=0^2=0~~\bold{ou}~~z=3^2=9$

Estas são as soluções desta equação matricial:

$\boxed{\bold{S=\{(x,~y,~z)\in\mathbb{R}^3~|~(x,~y,~z)=(0,~0,~0)~ou~(x,~y,~z)=(3,~6,~9)\}}}$.