Question

Determine os valores de x para os quais cada uma das expressões seguintes são números reais:

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Henrique, que a resolução é simples.

Pede-se para determinar os valores de "x" para os quais cada uma das expressões seguintes são números reais:

a) f(x) = √(4 - x²)

Veja: radicais de índice par (como é o caso da questão acima que tem radicando dentro de uma raiz quadrada e raiz quadrada tem índice "2", logo tem índice par) só aceitam radicandos que sejam maiores ou iguais a zero.
Assim, deveremos impor que o radicando (4-x²) seja maior ou igual a zero. Assim, teremos;

4 - x² ≥ 0 ----- note que as raízes dessa equação são: x' = -2 e x'' = 2.
Assim, vamos estudar a variação de sinais da equação acima em função de suas raízes (x' = - 2 e x'' = 2):

4 - x² ≥ 0  ..... - - - - - - - -  (-2) + + + + + + + + + (2) - - - - - - - - - - - - - - - - - 

Assim, os valores de "x" para os quais torna a função original [f(x) = √(4-x²) um número real serão todos os "x" situados intrarraízes (entre as raízes), conforme demonstrado acima.
Assim, teremos que o domínio (D) da função do item "a" será este:

-2 ≤ x ≤ 2 ---- Esta é a resposta para a questão do item "a".

Se quiser, poderá também apresentar o domínio (D) da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

D = {x ∈ R | -2 ≤ x ≤ 2}

Ou se quiser, o domínio (D) também poderia ser expresso da seguinte forma, o que significa o mesmo:

D = [-2; 2].


b) f(x) = √(x² - 9) ---- Pelo mesmo motivo da questão anterior, vamos impor que o radicando (x²-9) seja maior ou igual a zero. Assim:

x² - 9 ≥ 0 ---- veja que as raízes desta equação são: x' = - 3 e x'' = 3.

Assim, em função de suas raízes, esta equação terá a seguinte variação de sinais:

x² - 9 ≥ 0 ... + + + + + + + + (-3)- - - - - - - - - - (3) + + + + + + + + +

Assim, como você vê, a função original [f(x) = √(x²-9)] será positiva para valores extrarraízes (fora das raízes), ou seja, o seu domínio (D) será:

x ≤ -3 ou x ≥ 3 ----- Esta é a resposta para a questão do item "b".

Se quiser, poderá apresentar o domínio (D) do seguinte modo, o que é a mesma coisa:

D = {x ∈ R | x ≤ -3 ou x ≥ 3}.

Ou ainda, também se quiser, o domínio poderá ser apresentado assim, o que significa o mesmo:

D = (-∞; -3] ∪ [3; +∞).

c) f(x) = 1/√(4-3x)

Veja: aqui há duas restrições: a primeira restrição é, como você já viu, que radicais de índice par só aceitam radicandos que sejam maiores ou iguais a zero. E a segunda restrição é que o radical está no denominador. E denominador nenhum poderá ser zero. Logo, deveremos impor que o radicando (4-3x) seja apenas maior do que zero (e não maior ou igual como as questões das letras "a' e "b", que não tinham a restrição do denominador como tem esta da letra "c").
Assim, vamos impor que o radicando (4-3x) seja apenas maior do que zero. Logo:

4 - 3x > 0 ----- passando "4" para o 2º membro, teremos:
- 3x > - 4 ----- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos;
3x < 4
x < 4/3 ----- esta é a resposta para a questão do item "c".

Note: quando se multiplica uma inequação por "-1" o seu sentido muda: o que era > passa pra < e vice-versa.

Se quiser, poderá apresentar o domínio (D) da seguinte forma:

D = {x ∈ R | x < 4/3}.

Ou ainda, também se quiser, poderá apresentar o domínio (D) do seguinte modo, o que dá no mesmo:

D = (-∞; 4/3).

d) f(x) = 1/√(x²-x-12)

Veja: esta função também tem as duas restrições da questão do item "c", pois temos a restrição do radical de índice par e temos a restrição de esse radical estar no denominador. Logo, deveremos impor que o radicando (x²-x-12) seja apenas maior do que zero. Assim:

x² - x - 12 > 0 ---- note que as raízes desta equação são: x' = - 3 e x'' = 4

Agora vamos estudar a variação de sinais em função de suas raízes. Assim:

x² - x - 12 > 0 ... + + + + + + + (-3) - - - - - - - - -  (4) + + + + + + + + +

Assim, como ela terá que ser positiva para poder ser um número real, então o domínio (D) será:

x < -3 ou x > 4 ----- Esta é a resposta para a questão do item "d".

Se quiser, poderá apresentar o domínio (D) do seguinte modo, o que é a mesma coisa:

D = {x ∈ R | x < -3 ou x > 4}.

Ou ainda, também se quiser, o domínio (D) poderá ser expresso assim, o que dá no mesmo:

D = (-∞; -3) ∪ (3; +∞).

É isso aí.
Deu pra entender bem o raciocínio de todas as quatro questões?

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.