Question

Determine os valores de r tais que |r² - 9| ≤ 2. Tente resolver utilizando as propriedades de módulo

Answer 1

Olá

Temos que $|r^{2} -9| \leq 2$

Da definição de módulo, temos que $-2 \leq r^{2} - 9 \leq 2$.

Daí temos duas inequações:

1ª $-2 \leq r^{2} - 9$
2ª $r^{2} - 9 \leq 2$

Daí, vamos estudar ambas as inequações:

$r^{2} - 9 \geq -2$
$r^{2} - 9 + 2 \geq 0$
$r^{2} - 7 \geq 0$

Temos que as raízes dessa equação do segundo grau são $- \sqrt{7}$ e $\sqrt{7}$.

Esboçando o gráfico, podemos perceber que a parte positiva é $(-\infty,- \sqrt{7} ] U [ \sqrt{7}, \infty)$ (*)

Agora, em $r^{2} - 9 \leq 2$

Temos que:

$r^{2} - 9 - 2 \leq 2$
$r^{2}-11 \leq 0$

As raízes dessa equação são $- \sqrt{11}$ e $\sqrt{11}$.

Esboçando o gráfico, podemos perceber que a parte menor ou igual a 0 é $[- \sqrt{11} , \sqrt{11}]$ (**)

Fazendo a interseção entre (*) e (**) obtemos que:

$S = [- \sqrt{11} , - \sqrt{7}] U [ \sqrt{7}, \sqrt{11} ]$