Question

Determine os valores de μ∈R μ&Element para os quais det (A- μ I)=0 sendo 
A= 2 1 l= 1 0
0 1 e 0 1 a matriz identidade

Answer 1

Olá,

Seja o enunciado:

Determine os valores de μ ∈ R para os quais det(A- μI)=0, sendo $A=\left[\begin{matrix}2&1\\0&1\end{matrix}\right]$ e $I=\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right]$

Vamos calcular a matriz A - μI:

$A-\mu I=\left[\begin{matrix}2&1\\0&1\end{matrix}\right]-\mu\cdot\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right]\\\\\\ A-\mu I=\left[\begin{matrix}2&1\\0&1\end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix}\mu&0\\0&\mu\end{matrix}\right]\\\\\\ A-\mu I=\left[\begin{matrix}2-\mu&1\\0&1-\mu\end{matrix}\right]$

Agora, vamos encontrar a expressão do determinante da matriz que obtivemos acima:

$\det(A-\mu I)=\left |\begin{matrix}2-\mu&1\\0&1-\mu\end{matrix}\right |\\\\\\ \det(A-\mu I)=(2-\mu)\cdot(1-\mu)-1\cdot0 \\\\ \det(A-\mu I)=2-3\mu+\mu^2 = \mu^2-3\mu+2\\\\\\ \Delta = b^2-4\cdot a\cdot c\\\\ \Delta = (-3)^2-4\cdot1\cdot2=9-8\\\\ \Delta = 1\\\\\\ \mu=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}=\dfrac{-3\pm1}{2}\\\\\\ \mu_1 = \dfrac{-3-1}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2~~\land~~\mu_2=\dfrac{-3+1}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1\\\\ \boxed{\mu_1=-2}~~\land~~\boxed{\mu_2=-1}$

Logo, os valores possíveis para μ são -1 e -2.

Curiosidade: se μ é um escalar tal que det(A - μI) = 0, dizemos que μ é um autovalor da matriz A. Portanto, um outro jeito de o enunciado fazer a mesma pergunta era pedir os autovalores de A!