Question

Determine os valores de p para que a reta de equação 2x-y+p=0 seja tangente à circunferência de equação x²+y²-4=0?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Dani, que a resolução é simples, mas depende de algum conhecimento sobre pontos de tangência; sobre pontos em que a a reta é secante à circunferência; e sobre pontos em que a reta é externa à circunferência.
De acordo com isso, teremos que:

i) Se o Δ (b²-4ac) da equação de encontro da reta com a circunferência for positivo, então teremos pontos secantes à circunferência, ou seja, a reta passa por dentro da circunferência determinando dois pontos.
ii) Se o Δ ( b² - 4ac) da equação de encontro da reta com a circunferência for nulo (ou seja, for igual a zero), então teremos um ponto de tangência.
iii) Finalmente, se o Δ (b² - 4ac) for negativo, então a reta será externa à circunferência e não terá nenhum ponto de encontro.

iv) Bem, tendo, portanto, esses rápidos prolegômenos como parâmetros, então vamos ver a sua questão. São pedidos os possíveis valores de "p" na reta de equação: 2x - y + p = 0 , para ela (a reta) seja tangente à circunferência cuja equação é esta: x² + y² - 4 = 0.

iv.a) Primeiro vamos na equação da reta e vamos isolar "y". A reta é esta:

2x - y + p = 0 ---- isolando "y", teremos:
- y = - 2x - p ---- multiplicando ambos os membros por "-1", teremos;
y = 2x + p        . (I)

iv.b) Agora vamos na equação da circunferência e, nela, substituiremos "y" por "2x+p", conforme vimos na expressão (I) acima.
Vamos repetir a equação da circunferência, que é esta:

x² + y² - 4 = 0 ---- substituindo-se "y" por "2x+p", teremos:
x² + (2x+p)² - 4 = 0 ----- desenvolvendo, ficaremos com:
x² + 4x²+4px+p² - 4 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
5x² + 4px + p²-4 = 0       . (II)

iv.c) Agora é que vem o conhecimento exigido para isso. Se queremos que a reta seja tangente à circunferência, então a equação de encontro da reta com a circunferência deverá ter o seu Δ (b² - 4ac) nulo (ou seja, o Δ deverá ser igual a zero). Note que o delta (b² - 4ac) da função da expressão (II) acima é este: (4p)² - 4*5*(p²-4). Então vamos impor que ele seja igual a zero para que tenhamos um ponto de tangência. Assim teremos:

(4p)² - 4*5*(p²-4) = 0 ----- desenvolvendo, teremos:
16p² - 20*(p²-4) = 0 ---- efetuando o produto indicado, teremos:
16p² - 20p² + 80 = 0 --- reduzindo os termos semelhantes, teremos;
- 4p² + 80 = 0
- 4p² = - 80 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos;
4p² = 80 ---- isolando "p²", teremos;
p² = 80/4
p² = 20
p = ± √(20) ----- veja que 20 = 2².5 . Assim, fazendo a substituição, temos:
p = ± √(2².5) ---- como o "2" está ao quadrado, então ele sai de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos assim:

p = ± 2√(5) ------ daqui você já conclui que os possíveis valores de "p" serão estes:

ou p = -2√(5), ou p = 2√(5)   <--- Esta é a resposta. Ou seja, "p" poderá assumir um desses valores para que a equação da reta da sua questão seja tangente à circunferência x²+y²-4 = 0.

Apenas pra você ter uma ideia visual, veja no endereço abaixo o que ocorre quando substituímos o "p" por "-2√(5)" e por "+2√(5)" e constate que, em ambas as hipóteses, a reta tangenciará a circunferência. Veja lá:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Bx%C2%B2%2By%C2%B2-4+%3D+0,+2x-y-2*5%5E(1%2F2)+%3D+0%7D

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Bx%C2%B2%2By%C2%B2-4+%3D+0,+2x-y%2B2*5%5E(1%2F2)+%3D+0%7D

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.