Question

Determine os valores de máximos e mínimos da função:

f(x,y) = x + 2y

no retângulo de vértices (1,-2) , (1,2) , (-1,2) , (-1,-2)

Answer 1

Temos uma função de duas variáveis

     $\mathsf{f(x,\,y)=x+2y}$

definida sobre um retângulo, onde cada vértice se encontra em um quadrante.


     •  O vértice A(1, 2) está no 1º quadrante;

     •  O vértice B(−1, 2) está no 2º quadrante;

     •  O vértice C(−1, −2) está no 3º quadrante;

     •  O vértice D(−1, 2) está no 4º quadrante.


Calculemos o valor da função em cada um dos vértices:

     $\mathsf{f(A)=f(1,\,2)=1+2\cdot 2=5}\\\\ \mathsf{f(B)=f(-1,\,2)=-1+2\cdot 2=3}\\\\ \mathsf{f(C)=f(-1,\,-2)=-1+2\cdot (-2)=-5}\\\\ \mathsf{f(D)=f(1,\,-2)=1+2\cdot (-2)=-3}$


Agora, vamos parametrizar cada segmento que compõe o retângulo.

     •  Parametrizando o segmento AB:

        $\mathsf{AB:~~(x,\,y)=A+t\cdot \overset{\longrightarrow}{AB}}\\\\ \mathsf{AB:~~(x,\,y)=A+t\cdot (B-A)}\\\\ \mathsf{AB:~~(x,\,y)=(1,\,2)+t\cdot \big((-1,\,2)-(1,\,2)\big)}\\\\ \mathsf{AB:~~(x,\,y)=(1,\,2)+t\cdot (-1-1,\,2-2)}\\\\ \mathsf{AB:~~(x,\,y)=(1,\,2)+t\cdot (-2,\,0)}\\\\ \mathsf{AB:~~(x,\,y)=(1,\,2)+(-2t,\,0)}\\\\ \mathsf{AB:~~(x,\,y)=(1-2t,\,2)\qquad\quad 0\le t\le 1.}$


     No segmento AB, a função fica

        $\mathsf{f\big(x(t),\,y(t)\big)=f(1-2t,\,2)}\\\\ \mathsf{f\big(x(t),\,y(t)\big)=x(t)+2y(t)}\\\\ \mathsf{f\big(x(t),\,y(t)\big)=(1-2t)+2\cdot 2}\\\\ \mathsf{f\big(x(t),\,y(t)\big)=1-2t+4}\\\\ \mathsf{f\big(x(t),\,y(t)\big)=5-2t\qquad\quad 0\le t\le 1}$

     É uma função do 1ª grau decrescente em t. No segmento AB, temos que

        o valor máximo é para t = 0:

        $\mathsf{f\big(x(0),\,y(0)\big)=5-2\cdot 0=5}$

        o valor mínimo é para t = 1:

        $\mathsf{f\big(x(1),\,y(1)\big)=5-2\cdot 1=3}$


     •  Parametrizando o segmento BC:

        $\mathsf{BC:~~(x,\,y)=B+t\cdot \overset{\longrightarrow}{BC}}\\\\ \mathsf{BC:~~(x,\,y)=B+t\cdot (C-B)}\\\\ \mathsf{BC:~~(x,\,y)=(-1,\,2)+t\cdot \big((-1,\,-2)-(-1,\,2)\big)}\\\\ \mathsf{BC:~~(x,\,y)=(-1,\,2)+t\cdot (-1+1,\,-2-2)}\\\\ \mathsf{BC:~~(x,\,y)=(-1,\,2)+t\cdot (0,\,-4)}\\\\ \mathsf{AB:~~(x,\,y)=(-1,\,2)+(0,\,-4t)}\\\\ \mathsf{BC:~~(x,\,y)=(-1,\,2-4t)\qquad\quad 0\le t\le 1.}$


     No segmento BC, a função fica

        $\mathsf{f\big(x(t),\,y(t)\big)=f(-1,\,2-4t)}\\\\ \mathsf{f\big(x(t),\,y(t)\big)=x(t)+2y(t)}\\\\ \mathsf{f\big(x(t),\,y(t)\big)=(-1)+2\cdot (2-4t)}\\\\ \mathsf{f\big(x(t),\,y(t)\big)=-1+4-8t}\\\\ \mathsf{f\big(x(t),\,y(t)\big)=3-8t\qquad\quad 0\le t\le 1}$


Novamente, é uma função do 1ª grau decrescente em t. No segmento BC, temos que

        o valor máximo é para t = 0:

        $\mathsf{f\big(x(0),\,y(0)\big)=3-8\cdot 0=3}$

        o valor mínimo é para t = 1:

        $\mathsf{f\big(x(0),\,y(0)\big)=3-8\cdot 1=-5}$


Procedendo de forma análoga para os segmentos CD e DA, você vai encontrar funções do 1º grau crescentes agora. Então, nesses segmentos o valor mínimo será obtido para t = 0, e o valor máximo para t = 1.

Observe que os valores mínimos/máximos em cada segmento sempre vão ocorrer sobre uma das extremidades (vértices do retângulo). Isso porque os valores máximos/mínimos no segmento ocorrem quando o parâmetro t assume os valores da fronteira do intervalo.


Sendo assim,

     f assume o valor máximo no ponto A(1, 2), e o valor máximo de f é

        $\mathsf{f_{max}=f(A)=5}$


     f assume o valor mínimo no ponto C(−1, −2), e o valor mínimo de f é

        $\mathsf{f_{min}=f(C)=-5}$


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Bons estudos! :-)