Question

Determine os valores de m para que as equações sejam equações de uma circunferência: a) x² + y² – 6x – 8y – m = 0 b) x² + y² + 4x – 12y + m = 0 c) x² + y² + 2x + 6y + m = 0

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

a)

$x^{2}-6x+k^{2} + y^{2} - 8y + n^{2}=0\\\m=n^{2}+k^{2}$

Completando os quadrados:

$x^{2}-(2*3*x)+k^{2} + y^{2} - (2*4*y) + n^{2}=0\\x^{2}-6x+3^{2} + y^{2} - 8y + 4^{2}=0\\x^{2}-6x+9 + y^{2} - 8y + 16=0\\x^{2}-6x+ y^{2} - 8y + (16+9)=0\\\\x^{2}-6x+ y^{2} - 8y + 25=0$

m=25

Answer 2

Completando a solução do amigo:

a)

$x^2+y^2-6x-8y-m = 0 \\~\\x^2-6x+9+y^2-8y+16 = m+25\\~\\(x-3)^2+(y-4)^2=m+25$

Seja r o raio dessa circunferência:

$r^2 = m+25\\~\\r = \sqrt{m+25}$

O domínio de m é $\left\{m \in \mathbb{R} \text{ }|\text{ } m\geq- 25 \right\}$. Exemplos: m = -16, raio = 3. m = 0, raio = 5 etc.

b)

$x^2 + y ^2 + 4x - 12y + m = 0 \\~\\x^2-4x+4+y^2-12y+36= 40-m\\~\\(x-2)^2+(y-6)^2 = 40-m$

O domínio de m é $\left\{m \in \mathbb{R} \text{ }|\text{ } m\leq 40 \right\}$. Exemplos: m = 4, raio = 6. m = -9, raio = 7 etc.

c)

$x^2+y^2+2x+6y+m=0\\~\\x^2+2x+1+y^2+6y+9=10-m\\~\\(x+1)^2+(y+3)^2 = 10-m$

O domínio de m é $\left\{m \in \mathbb{R} \text{ }|\text{ } m\leq 10 \right\}$. Exemplos: m = 1, raio = 3. m = 9, raio = 1 etc.