Question

Determine os valores de m para que a função
tenha duas raízes distintas

f(x) = x^2+m(2x^2+3x+1)

Me ajudem por favor!

Answer 1

Para que tenhamos duas raízes distintas (e Reais), o valor de Δ deve ser maior que 0, logo:

$f(x)~=~x^2~+~m\,.\,(2x^2+3x+1)\\\\\\f(x)~=~x^2+(2m).x^2+(3m).x+m\\\\\\f(x)~=~(2m+1).x^2+(3m).x+m\\\\\\\\Os~coeficientes~dessa~funcao~sao:\\\\\\\rightarrow~~a=(2m+1)\\\\\rightarrow~~b=3m\\\\\rightarrow~~c=m\\\\\\\\Como~\Delta~deve~ser~maior~que~0:\\\\\\\Delta~>~0\\\\\\(3m)^2-4.(2m+1).m~>~0\\\\\\9m^2-4.(2m^2+m)~>~0\\\\\\9m^2-8m^2-4m~>~0\\\\\\m^2-4m~>~0\\\\\\\boxed{m.(m-4)~>~0}$

Chegamos a uma inequação do 2° grau (incompleta).

O coeficiente "a" é positivo, logo o grafico da função m²-4m será uma parábola voltada para cima (ver anexo) e, consequentemente, os valores positivos estarão à esquerda da menor raiz e à direita da maior raiz.

Vamos então determinar as raízes da equação e, posteriormente, a solução da inequação:

$m.(m-4)~=~0\\\\\\\boxed{m'~=~0}\\\\\\m-4~=~0\\\\\boxed{m''~=~4}\\\\\\\\Sendo~assim,~os~valores~positivos~da~inequacao~acontecem~para:\\\\\\(m~<~0)~~U~~(m> 4)$

Resposta: A função terá raizes Reais distintas para  (m < 0) U (m > 4)