Question

Determine os valores de m para que a função, não tenha raízes/zero reais

Answer 1

Usando o Binómio discriminante ( Δ  < 0 ) a equação não tem zeros reais.

Isso acontece quando:

$m < -\dfrac{13}{12}$

Equações completas do 2º grau são do tipo :

• ax² + bx + c = 0            a ; b ; c ∈ |R              a ≠ 0

Fórmula de Bhaskara tem o Binómio Discriminante ( Δ = b² - 4 * a * c )

Chama-se " discriminante " porque conforme o seu valor ele indica

quais  as raízes da equação.

• Se Δ > 0  →  Existem duas raízes reais e distintas

• Se Δ = 0  →   Existe uma só raiz, que se diz de dupla

• Se Δ < 0  →   Não existem raízes nos números reais ( |R )

Portanto usamos o caso em   Δ < 0

$f(x)=(m+1)*x^2+(2m+3)*x + (m - 1 )$

a = m + 1

b = 2m + 3

c = m - 1

Δ = ( 2m + 3 )² - 4 * ( m + 1 ) * ( m - 1 )                    ( I )

Δ = ( 2m )² + 2 * 2 m * 3  + 3² - 4 * ( m² - 1² )         ( II )        

Δ = 4m² + 12 m  + 9 - 4m² + 4

Δ = 4m² - 4m² + 12 m + 13            

Δ = 12 m + 13

12m + 13 < 0

12m < - 13

$m < -\dfrac{13}{12}$

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Em ( I ) tem dois Produtos Notáveis  

• O quadrado da soma  ( 2m + 3 )²

Tem o seguinte desenvolvimento:

O quadrado do 1º termo

mais

o dobro do produto do 1º pelo 2º termo

mais

o quadrado do 2º termo

( 2m + 3 )² = ( 2m )²  +  2 * 2 m * 3   +  3²

• Diferença de dois quadrados  ( a² - b² )

Tem o desenvolvimento:

( base 1º termo  +  base 2º termo ) * ( base 1º termo  -  base 2º termo )

Exemplo:

( a² - b² ) = ( a + b ) * ( a - b )

Nota → estes " a " e " b " são letras genéricas.

Não têm nada a ver com os coeficientes " a " e " b " da equação do 2º

grau completa.

Mas se tiver

( a + b ) * ( a - b )  saber que isto é igual a  ( a² - b² )

É o que acontece aqui :

( m + 1 ) * ( m - 1 )   = m² - 1²

   

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• Quadrado de um produto = Produto dos quadrados

Exemplo:

( 2 * m )² = 2² * m² = 4m²

Bons estudos.

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( * ) multiplicação        ( / )   divisão           ( ∈ )  pertencer a

( ≠ )  diferente de        ( |R )  conjunto dos números reais

( < )   menor do que