Question

Determine os valores de m, para que a função f(x) = (m – 3)x² – x + 8 admita raízes reais. 

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Mateus, que a resolução é simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para determinar os valores de "m" para que a função abaixo admita raízes reais:

f(x) = (m-3)x² - x + 8

ii) Agora veja isto e não esqueça mais: uma função do 2º grau admitirá raízes reais se o seu delta (b² - 4ac) for "IGUAÇ ou MAIOR" do que zero. Se o delta for igual a zero, a função admitirá duas raízes reais e ambas iguais; e se o delta for maior do que zero, a função admitirá duas raízes reais e diferentes.

Então vamos impor que o delta (b² - 4ac) seja "MAIOR ou IGUAL" a zero. Note que o delta (b²-4ac) da função da sua questão é este: (-1)² - 4*(m-3)*8. Então vamos impor que este delta seja MAIOR ou IGUAL a zero. Fazendo isso, teremos:

(-1)² - 4*(m-3)*8 ≥ 0 ----- desenvolvendo, temos (note que "-4*8 = -32"):

1 - 32*(m-3) ≥ 0 ---- continuando o desenvolvimento, temos:

1 - 32m + 96 ≥ 0 ---- reduzindo os termos semelhantes no 1º membro, temos:

-32m + 97 ≥ 0 ------ passando "97" para o 2º membro, teremos:

-32m ≥ - 97 ---- multiplicando ambos os membros por "-1"  teremos (lembre-se: quando se multiplica uma desigualdade por "-1" o seu sentido muda: o que era "≥" passa para "≤" e vice-versa):

32m ≤ 97 ---- isolando "m" teremos:

m ≤ 97/32 <---  Ou seja, a função da sua questão, em princípio, admitirá raízes reais se "m" for MENOR ou IGUAL a "97/32" (ou "3,03125"). Mas temos ainda que considerar que para a equação dada seja do 2º grau "m" deverá ser diferente de "3", pois se "m" for igual a "3" vai desaparecer o o coeficiente de x² e, assim, não se terá uma equação do 2º grau, então deveremos impor ainda que "m" deverá ser DIFERENTE de "3". Logo, a resposta definitiva será:

m ≤ 97/32, e m ≠ 3 <--- Esta é a resposta definitiva. Ou seja, para que a equação da sua questão tenha raízes reais então "m" deverá ser MENOR ou IGUAL a "97/32 (ou "3,03125") com m ≠ 3. Em outras palavras, o resultado acima também poderia ser apresentado assim, já que 97/32 = 3,03125.

m ≤ 3,03125, e m ≠ 3 <--- A resposta também poderia ser apresentada desta forma.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.