Question

determine os valores de m para que a função do 2 grau f(x) =-3x elevado a 2+2x(1+2m) tenha duas raízes Reais e distintas​

Answer 1

Para que uma função do 2° grau tenha 2 raízes Reais e distintas, o valor de Δ deve ser maior que 0.

Os coeficientes da função são:

--> a = -3

--> b = 2.(1+2m)

--> c = 0

Logo:

$\Delta~>~0\\\\\\(~2.(1+2m)~)^2-4.(-3).0~>~0\\\\\\(~2^2.(1+2m~)^2~)~-~0>~0\\\\\\4.(4m^2+4m+1)~>~0\\\\\\\boxed{4m^2+4m+1~>~0}$

Chegamos em uma inequação quadrática com coeficiente "a" positivo, logo os valores positivos ( > 0 ) acontecerão à esquerda da menor raiz e à direita da maior raiz (ver anexo).

Vamos calcular estas raízes:

$\Delta~=~4^2-4.4.1~=~16-16~=~0\\\\\\m'~=~m''~=~\frac{-4+\sqrt{0}}{2~.~4}~=~\frac{-4}{8}~=~\boxed{-\frac{1}{2}}$

Como a menor e a maior raiz são iguais, a inequação tem valor maior que 0

para todo "m" que seja diferente de -1/2.

Com isso, concluímos que, para todo "m" diferente de -1/2, a função dada tem raízes reais distintas.