Determine os valores de m, para os quais a função f(x) = mx² + 2 (m + 1) x + m² seja positiva quando x = 1.
Soluções para a tarefa
Substituindo x por 1 na função :
F(x) = m.(1)² + 2 (m +1).1 + m²
F(x) = m + 2m + 2 + m²
F(x) = m² + 3m + 2
m² + 3m + 2 = 0 (igualando a zero para encontrar as raízes)
Resolvendo pela fórmula da equação do segundo grau :
m = [- 3 ± √( 3² - 4.1.2)]/2.1
m = [ - 3 ± 1]/2
m = -1 ou m = - 2
Para a função ser positiva, "a" precisa ser maior do que zero.
Nesse caso, "a" está relacionado com as demais incógnitas ( "b" e "c" ) então deve-se analisar a função toda, sendo que ela é do tipo ax² + bx + c.
A parábola dessa função terá concavidade voltada pra cima (já que esta deverá ser positiva) sendo que interceptará X em - 2 e - 1.
Ao transformarmos isso em uma inequação (m² + 3m + 2 > 0) podemos encontrar o intervalo só com valores positivos.
Qualquer valor (parte do "desenho" da função) que ela assuma acima do eixo X será positivo e abaixo, negativo.
Pelo gráfico vemos que :
No intervalo compreendido entre - 2 e - 1 a função/inequação assume valores negativos.
Como a questão não quer isso vamos considerar todo o intervalo que ela pode assumir menos este.
Ou seja, m está entre algo maior que -1 (pois só há valores positivos depois) e menor que -2 (pois só há valores positivos antes).
- 1 < m < - 2
Na notação de conjunto :
m = (- ∞, - 2) U ( - 1, + ∞)
Observação : Usei m² + 3m + 2 = 0 para gerar o gráfico pois ele é o mesmo para a função e a inequação, a única diferença é o domínio que, no caso, não interfere em nada no "desenho".
Espero ter ajudado.
