Question

Determine os valores de k para que o sistema linear admita uma única solução

x + ky = -3
2x + y + z = 0
kx + 5y + 2z = 3

Já fiz os determinantes, mas as raízes não fecham. Segundo a resposta do livro a resposta é k ≠ 1 e k ≠ 3.

Answer 1

Resposta:

k ≠ 2+√7 e k ≠ 2-√7

Explicação passo-a-passo:

Escreva o sistema no formato matricial. A matriz dos coeficientes será:

$A = \left[\begin{array}{ccc}1&k&0\\2&1&1\\k&5&2\end{array}\right]$

para que o sistema tenha uma única solução a matriz dos coeficientes deve ter determinante diferente de zero. Assim

det(A) = k^2-4k-3 ≠ 0 ⇒ k ≠ 2+√7 e k ≠ 2-√7.

Answer 2

Resposta:

x  + ky  + 0z  =-3

2  + y    +  z   = 0

k  + 5y  + 2z  =  3

1      k      0        1      k

2     1       1        2     1

1      5      2       1      5

Δ=2+k+0-4k-5-0 =-3-3k

Para ser LD basta que o determinante seja =0 ==>3-3k=0 ==>k=1 , portanto , para ter solução única  k ≠ 1 é a resposta

Verificando:

-3     k      0     -3     k

0     1       1       0     1

3     5      2       3     5

Δx =-6+3k+0-0+15-0 =9+3k

x=Δx/Δ=(9+3k)/(3-3k) =(3+k)/(1-k) ===>denominador não pode ser 0 ==>1-k≠0

k ≠ 1

1      -3      0        1      -3

2     0       1        2       0

k     3       2         k     3

Δy = 0-3k+0+12-3+0=9-3k

y =Δy/Δ=(9-3k)/(3-3k) =(3-k)/(1-k) ===>denominador não pode ser 0 ==>1-k≠0

k ≠ 1

1      k     -3        1      k

2     1       0       2     1

1      5      3       1      5

Δz =3+0-30-6k-0+3 =-24-6k

z=Δz/Δ =(-24-6k)/(3-3k)=(-8-2k)/(1-k) ===>denominador não pode ser 0 ==>1-k≠0

k ≠ 1

Resposta:  k ≠ 1  apenas

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Se k = 3 , existe solução única

1     3     0

2     1     1

3     5     2

solução ==> x=-3   ;  y=0   e z= 6