Question

Determine os valores de k para que a matriz M =
1 0 −1
k 1 3
1 k 3

não seja inversível.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{k=-4~~~ou~~~k=1}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para determinarmos os valores da constante $k$ tal que a seguinte matriz não admita inversa, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas.

Para que uma matriz não seja inversível, seu determinante deve ser igual a zero.

Logo, seja a matriz:

$\begin{bmatrix}1&0&-1\\k&1&3\\1&k&3\\\end{bmatrix}$

Passamos esta matriz para a notação de determinante e o igualamos a zero:

$\begin{vmatrix}1&0&-1\\k&1&3\\1&k&3\\\end{vmatrix}=0$

Para resolvermos o determinante, utilizamos a Regra de Sarrus. Consiste em replicarmos as duas primeiras colunas à direita do determinante e calcularmos a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos:

$\left|\begin{matrix}1& 0 &-1 \\ k&1 &3 \\ 1& k & 3\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}1 &0 \\ k & 1\\ 1 &k \end{matrix}\right.=0$

Aplique a regra de Sarrus:

$1\cdot1\cdot3+0\cdot3\cdot1+(-1)\cdot k\cdot k-(0\cdot k\cdot 3+1\cdot3\cdot k+(-1)\cdot1\cdot1)=0$

Multiplique os valores e efetue a propriedade distributiva

$3-k^2-(3k-1)=0\\\\\\ 3-k^2-3k+1=0$

Some os termos semelhantes e reorganize

$-k^2-3k+4=0$

Utilizando a fórmula resolutiva, encontraremos os valores de $k$ que satisfazem a condição desejada:

$k=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot(-1)\cdot 4}}{2\cdot (-1)}$

Calcule as potências e multiplique os valores

$k=\dfrac{3\pm\sqrt{9+16}}{-2}$

Some os valores no radical

$k=\dfrac{3\pm\sqrt{25}}{-2}$

Sabendo que $25=5^2$, temos

$k=\dfrac{3\pm5}{-2}$

Separe as soluções

$k=\dfrac{3+5}{-2}~~~\mathtt{ou}~~~~ k=\dfrac{3-5}{-2}$

Some os valores

$k=\dfrac{8}{-2}~~~\mathtt{ou}~~~~ k=\dfrac{-2}{-2}$

Simplifique as frações

$k=-4~~~\mathtt{ou}~~~~ k=1$

Estes são os valores que tornam a matriz não inversível.