Question

Determine os valores de k para os quais a distância do ponto P(2, k) à reta r: 3x – 4y + 2 = 0 seja igual a 3.

Answer 1

Seja uma reta qualquer $\text {a.x + b.y + c = 0}$  e um ponto qualquer $(\text x_\text o\,\text y_\text o)$, a distância do ponto à reta será dado pela relação :

$\displaystyle \text D = \frac{|\text{a.x}_\text o+\text{b.y}_\text o+\text c|}{\sqrt{\text a^2+\text b^2}}$

Temos :

reta :  $\text r : 3\text x-4\text y+2=0$

coeficientes : a = 3, b = -4, c = 2

Ponto : $\text P(2,\text k)$  

Distância : 3  

Substituindo na relação da distância do ponto à reta :

$\displaystyle 3 = \frac{|3.2-4.\text k+2| }{\sqrt{3^2+(-4)^2}} \\\\\\ 3 = \frac{|6-4\text k+2|}{\sqrt{9+16}} \to 3 =\frac{|8-4\text k|}{5} \\\\\\ |8-4\text k| = 15$

aplicando a definição de módulo, temos :

$\displaystyle 8-4\text k = 15 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ou} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8-4\text k=-15 \\\\4\text k = 8-15 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ou} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4\text k = 8+15 \\\\\text k = \frac{-7}{4} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ou} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text k = \frac{23}{4}$

Portanto os valores de k são :

$\huge\boxed{\ \text k = \frac{-7}{4}\ \ ; \ \ \text k =\frac{23}{4}\ } \checkmark$