Question

Determine os valores de a, tais que o resto da divisao de ;

$a) p(x) =x^{4} + 4x^{3}- a^{2}x^{2}+ 3ax-1, por ( x-1), seja 0 \\ . b) p(x) =x^{3} -(modulo de a)* x^{2}+ ax-1 por (x+1) seja -2$

Answer 1

Olá, Marlon.

$x^4$+4x³   -a²x²+3ax-1                          |             x-1                     
$\underline{x^4}$-  x³                                                  x³+5x²+(5-a²)x+(3a+5-a²)
     5x³    -a²x²         +3ax-1
     5x³     -5x²                   
          (5-a²)x²         +3ax-1
          (5-a²)x²      -(5-a²)x                
                     (3a+5-a²)x-1
                     (3a+5-a²)x-(3a+5-a²)   
                                   -1+3a+5-a²

Para que o resto seja zero, devemos ter:

-1+3a+5-a² = 0 ⇒ a²-3a-4 = 0 ⇒ (a-4)(a+1) = 0 ⇒ $\boxed{a = 4\text{ ou }a = -1}$
 
Esta é a solução da letra "a"
Para a letra "b", o processo é análogo.

x³      -|a|x²+ax-1                          |             x+1                     
x³        +x²                                        x²-(|a|+1)x+(a+|a|+1)
    (-|a|-1)x²     +         ax-1
    (-|a|-1)x²     +  (-|a|-1)x       
                       (a+|a|+1)x-1
                       (a+|a|+1)x+(a+|a|+1) 
                                    -1-(a+|a|+1)

Para que o resto seja -2, devemos ter:

-1-(a+|a|+1) = -1-a-|a|-1=-|a|-a-2=-2 ⇒ -|a|-a=0 ⇒ |a|+a=0

Se |a| = -a, então -a+a=0 ⇒ 0=0 ⇒ qualquer valor de a negativo satisfaz
Se |a| = +a então +a+a=0 ⇒ 2a = 0 => a = 0

Portanto, a solução é: $\boxed{a\leq0}$ ou $a\in\mathbb{Z}_{-}$