Question

Determine os valores de A e B, sabendo que a inversa de $\left[\begin{array}{ccc}a&a-4\\\\a-5&1\end{array}\right]$ é a matriz $\left[\begin{array}{ccc}b&-3\\-2&a\end{array}\right]$

Answer 1

Os valores de a e b são, respectivamente, 7 e 1.

É verdade que a multiplicação entre uma matriz e a sua inversa resulta na matriz identidade.

Vale lembrar que a matriz identidade possui os elementos da diagonal principal iguais a 1 e os outros elementos iguais a 0.

Com as informações dadas no enunciado, temos que:

$\left[\begin{array}{ccc}a&a-4\\a-5&1\end{array}\right] .\left[\begin{array}{ccc}b&-3\\-2&a\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}-2a+ab+8&a^2-7a\\ab-5b-2&-2a+15\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$.

Da equação a² - 7a = 0, temos que:

a(a - 7) = 0

a = 0 ou a = 7.

Já da equação -2a + 15 = 1, obtemos:

-2a = -14

a = 7.

Portanto, o valor de a é 7.

Na equação -2a + ab + 8 = 1, temos que:

-2.7 + 7.b + 8 = 1

-14 + 7b + 8 = 1

7b = 7

b = 1.

Conferindo:

7.1 - 5.1 - 2 = 7 - 5 - 2 = 0.

Portanto, os valores de a e b são, respectivamente, iguais a 7 e 1.