Question

Determine os valores de a e b de modo que 1 e 2 sejam raízes de p(x)=x⁴-ax³+bx²-4x+4

Answer 1

Substituímos o P(x) pelas raízes x = 1 e x = 2, uma de cada vez.

P(x) = x⁴ - ax³ + bx² - 4x + 4
P(x) = 0

Logo:

P(x) = P(x)
0 = x⁴ - ax³ + bx² - 4x + 4

Para x = 1:

0 = (1)⁴ - a.(1)³ + b.(1)² - 4.(1) + 4
0 = 1 - a.1 + b.1 - 4 + 4
0 = 1 - a + b
-a + b = -1   (I)

Para x = 2:

0 = (2)⁴ - a.(2)³ + b.(2)² - 4.(2) + 4
0 = 16 - a.8 + b.4 - 8 + 4
0 = 16 - 8a + 4b - 8 + 4
-8a + 4b = -16 + 8 - 4
-8a + 4b = -12   (II)

Montamos o sistema de equações:

(I)    -a + b = -1
(II)  -8a + 4b = -12


Isolamos a ou b em qualquer uma das equações, de preferência a mais simples:

Então:

(I)  -a + b = -1
     b = -1 + a

Substituindo (I) em (II):

-8a + 4b = -12
-8a + 4.(-1 + a) = -12
-8a - 4 + 4a = -12
-8a + 4a = -12 + 4
-4a = -8
a = $\frac{-8}{-4}$

a = 2

Substituindo o valor de a em (I):

b = -1 + a
b = -1 + 2

b = 1

Portanto:

a = 2 e b = 1


Tirando a prova:

P(x) = x⁴ - 2x³ + 1x² - 4x + 4
P(x) = x⁴ - 2x³ + x² - 4x + 4

P(1) = (1)⁴ - 2.(1)³ + (1)² - 4.(1) + 4
P(1) = 1 - 2.1 + 1 - 4.1 + 4
P(1) = 1 - 2 + 1 - 4 + 4
P(1) = -1 + 1 - 0
P(1) = 0 - 0
P(1) = 0


P(2) = (2)⁴ - 2.(2)³ + (2)² - 4.(2) + 4
P(2) = 16 - 2.8 + 4 - 4.2 + 4
P(2) = 16 - 16 + 4 - 8 + 4
P(2) = 0 + 4 - 4
P(2) = 0 + 0
P(2) = 0


Provado!

Bons estudos!