Question

Determine os valores de a,b,c,d para que os dois polinômios abaixo sejam idênticos:

p(x)=(a+b)x³ + x² + d
q(x) = 5x³ + (b-a)x² + (c + d)x - 4

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre polinômios.

Sejam os polinômios $p(x)=(a+b)\cdot x^3+x^2+d$ e $q(x)=5x^3+(b-a)\cdot x^2+(c+d)\cdot x-4$. Devemos determinar os valores de $a,~b,~c,~d\in\mathbb{R}$ de modo que os polinômios sejam idênticos.

Para que dois polinômios sejam idênticos, seus coeficientes respectivos devem ser iguais.

Com isso, facilmente podemos ver que:

$a+b=5\\\\\\ b-a=1\\\\\\ c+d=0\\\\\\ d=-4$

Substituindo o valor de $d$ na terceira equação, temos:

$c-4=0$

Some $4$ em ambos os lados da igualdade

$c=4$

Utilizando a primeira e segunda equações, temos o seguinte sistema de equações lineares:

$\begin{cases}a+b=5\\b-a=1\\\end{cases}$

Some as equações

$a+b+b-a=5+1$

Some os termos semelhantes e cancele os termos opostos

$2b=6$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $2$

$b=3$

Substituindo este resultado em qualquer uma das equações, temos:

$a+3=5$

Subtraia $3$ em ambos os lados da igualdade

$a=2$

Então, conclui-se que para que $p(x)$ e $q(x)$ sejam idênticos, os valores de $a,~b,~c,~d$ devem ser $a=2,~b=3,~c=4$ e $d=-4~~\checkmark$.