Question

Determine os valores das constantes reais a e b que satisfazem (ax+5)^2 + (b-2x)^2 = 13x^2 + 42x + 34 
 

Answer 1

$(x+1)^2 = (x)^2+2*x*1+(1)^2$

Portanto teremos:

$(ax+5)^2 + (b-2x)^2 = 13x^2 + 42x + 34 \\ (ax)^2+10ax+(5^2)+(b)^2-2*b*(2x)+(2x)^2=13x^2+42x+34 \\ (ax)^2+4x^2+10ax-4bx+25+b^2=13x^2+42x+34$

Então igualando os termos que possuem x², os que tem x e os que não tem teremos:

$(ax)^2+4x^2+10ax-4bx+25+b^2=13x^2+42x+34 \\ \\ (ax^2)+4x^2=13x^2 \\ 10ax-4bx=42x \\ 25+b^2=34$

$(ax^2)+4x^2=13x^2 \\ (a^2+4=13) \\ a^2=13-4 \\ a^2=9 \\ a=+-3$
$25+b^2=34 \\ b^2=34-25 \\ b^2=9 \\ b=-3$

Agora para testar os valores na segunda equação então teremos:
10ax-4bx=42x
P/ a=3
10*3x-4b=42x
30-4b=42
-4b=12
b=-3
P/ a=-3
-30-4b=42
-4b=72
b=-18

Portanto os valores únicos possíveis são para a=3 e b=-3 pois o b sendo -18 não condiz com o resultado anterior que o b só poderia ser 3 ou -3.