determine os termos de uma pg de três termos formada por números inteiros, sabendo que a soma desses termos é igual a 30, e o produto é igual a 960.
Soluções para a tarefa
Os três termos dessa progressão aritmética são 8, 10, 12.
Progressão aritmética (PA)
Na verdade, o enunciado se refere à PA, não a PG.
Representamos por a, b e c os três termos dessa PA.
Como a soma deles é 30, e o produto é 960, temos:
- a + b + c = 30
- a·b·c = 960
Sabemos que, numa PA, o termo central é igual à média aritmética dos termos equidistantes deste. Logo:
b = a + c
2
a + c = 2b
a + b + c = 30
a + c + b = 30
2b + b = 30
3b = 30
b = 30/3
b = 10
a + c = 2b
a + c = 2.10
a + c = 20 => c = 20 - a (I)
a·b·c = 960
a·10·c = 960
a·c = 960/10
a·c = 96 (II)
Substituindo (I) em (II), temos:
a·c = 96
a·(20 - a) = 96
20a - a² = 96
- a² + 20a = 96
- a² + 20a - 96 = 0
Resolvendo essa equação do 2° grau, encontramos:
a' = 8 e a'' = 12
Como a vem antes de b na progressão, não pode ser maior valor. Logo, a = 8.
c = 20 - a
c = 20 - 8
c = 12
Portanto, os três termos dessa progressão são 8, 10, 12.
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