Question

Determine os seguintes limites

Answer 1

• O resultado dessa sequência será e¹².

Perceba que o valor do expoente não é um valor finito. Devemos então saber que:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{1}{n}\right)^{n} = \underline{\underline{e}} \end{aligned} }$

• Dada a sequência numérica:

$\large\displaystyle\begin{aligned} \lim_{x\to \infty} \left( 1+\frac{3}{x}\right)^{4x} \Leftrightarrow \end{aligned}$

• Faça uma mudança de variavél, no meu caso eu irei trocar ( 3/x por 1/y ). Logo:

$\large\displaystyle\begin{aligned} \lim_{x\to \infty} \left( 1+\frac{3}{x}\right)^{4x} \Leftrightarrow \lim_{y\to \infty} \left( 1+\frac{1}{y}\right)^{12y} \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \lim_{x\to \infty} \left( 1+\frac{3}{x}\right)^{4x} \Leftrightarrow \lim_{y\to \infty} \left[\left( 1+\frac{1}{y}\right)^y\right]^{12} \end{aligned}$

$\therefore \large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\boxed{\boxed{\green{ \lim_{x\to \infty} \left( 1+\frac{3}{x}\right)^{4x} \Leftrightarrow e^{12} }}} \end{aligned} }$

Veja mais sobre:

Sequências Numéricas.

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