Question

Determine os possíveis valores se m para os quais o polinômio p(x)= x³- 2x ²+2x+m admite uma quantidade ímpar de raízes no intervalo ]-1, 1[.

Answer 1

Resposta:

os valores de m estão no intervalo ]1, 3[

Explicação passo-a-passo:

p(-1) = (-1)² - 2(-1)² + 2 (-1) + m

p(-1) = -3+m

p(1) = (1)² - 2(1)² + 2 (1) + m

p(1) = 1+m

Existiu um moço chamado Bolzano que provou que se p(-1) . P(1) < 0, então existe um número ímpar de raizes ente -1 e 1.

Diante disso podemos escrever (-3+m)(1+m) < 0

m² - 2m - 3 < 0. aplicando Baskara encontramos:

m' = 1 e m" = 3

+ + + + + + - - - - - - - - - - + + + + + + +

________1_________3_________>

os valores de m estão no intervalo ]1, 3[

Observação: Se f(a) × f(b) < 0, então a equação f(x) = 0 tem um número ímpar de raízes no intervalo (a, b). Se f ’(x) preservar o sinal em (a, b) então, neste intervalo, há uma única raiz.