Question

Determine os possiveis valores reais de m para que se tenha , simultaneamente, sin(alpha) = - m/3 e o cos(alpha) = m + 1

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que os possíveis valores para a variável "m" pertencem ao seguinte conjunto solução:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \bigg\{-\frac{9}{5},\,0\bigg\}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

             $\Large\begin{cases} \sin\alpha = -m / 3\\\cos\alpha = m + 1\end{cases}$

Sabemos que a identidade fundamental trigonométrica nos diz que:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} \sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1\end{gathered}$

Substituindo os dados na identidade fundamental temos:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bigg(-\frac{m}{3}\bigg)^{2} + (m + 1)^{2} = 1\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{(-m)^{2}}{3^{2}} + (m + 1)^{2} = 1\end{gathered} }$

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{m^{2}}{9} + (m + 1)^{2} = 1\end{gathered} }$

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{m^{2} + 9\left[(m + 1)^{2}\right]}{9} = 1\end{gathered} }$

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} m^{2} + 9\left[m^{2} + 2m + 1\right]= 9\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} m^{2} + 9m^{2} + 18m + 9 = 9\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} m^{2} + 9m^{2} + 18m + 9 - 9 = 0\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} 10m^{2} + 18m = 0\end{gathered}$

Chegamos à uma equação do segundo grau e resolvendo-a, temos:

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} m = \frac{-18 \pm \sqrt{18^{2} - 4\cdot10\cdot0}}{2\cdot10}\end{gathered} }$

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{-18 \pm\sqrt[\!\diagup\!\!]{18^{\!\diagup\!\!\!\!2}}}{20}\end{gathered} }$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{-18 \pm 18}{20}\end{gathered}$

Calculando os valores de "m" temos:

  $\LARGE\begin{cases} m' = \frac{-18 - 18}{20} = -\frac{36}{20} = -\frac{9}{5}\\m'' = \frac{-18 + 18}{20} = \frac{0}{20} = 0\end{cases}$

✅ Portanto, os possíveis valores de "m" pertencem ao seguinte conjunto solução:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} S = \bigg\{-\frac{9}{5},\,0\bigg\}\end{gathered} }$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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