Question

Determine os pontos de maximo e minimo da função z=f(x,y)=4-2x-3y, sujeito a restrição x^2+y^2=1

Answer 1

Utilizando multiplicadores de Lagrange temos que o ponto $(\frac{-2}{13}\sqrt{13},\frac{-3}{13}\sqrt{13})$ é ponto de máximo e o ponto $(\frac{2}{13}\sqrt{13},\frac{3}{13}\sqrt{13})$ é ponto de mínimo.

Explicação passo-a-passo:

Para resolver este problema vamos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Temos que a função é dada por:

$f(x,y,z)=4-2x-3y$

Então:

$g(x,y,z)=x^2+y^2$

Pelo método dos multiplicadores:

$\nabla f=\lambda .\nabla g$

Onde λ é o multiplicador de Lagrange. Assim ficamos com as equações:

$\frac{df}{dx}=\lambda .\frac{dg}{dx}$

$\frac{df}{dy}=\lambda .\frac{dg}{dy}$

$-2=\lambda .2x$

$-3=\lambda .2y$

$\frac{-1}{\lambda}=x$

$\frac{-3}{2\lambda}=y$

E como:

$g(x,y,z)=x^2+y^2=1$

$(\frac{-1}{\lambda})^2+(\frac{-3}{2\lambda})^2=1$

$\frac{1}{\lambda ^2}+\frac{9}{4\lambda ^2}=1$

$\frac{4}{4\lambda ^2}+\frac{9}{4\lambda ^2}=1$

$\frac{13}{4\lambda ^2}=1$

$4\lambda ^2=13$

$\lambda ^2=\frac{13}{4}$

$\lambda =\pm\frac{\sqrt{13}}{2}$

Substituindo estes valores de λ:

$\frac{-1}{\lambda}=x$

$\frac{-3}{2\lambda}=y$

$x1=\frac{-2}{13}\sqrt{13}$

$y1=\frac{-3}{13}\sqrt{13}$

$x2=\frac{2}{13}\sqrt{13}$

$y2=\frac{3}{13}\sqrt{13}$

Substituindo estes valores de volta na função f e checando qual é maior e qual é menor, temos que o ponto $(\frac{-2}{13}\sqrt{13},\frac{-3}{13}\sqrt{13})$ é ponto de máximo e o ponto $(\frac{2}{13}\sqrt{13},\frac{3}{13}\sqrt{13})$ é ponto de mínimo.