Question

determine os pontos de interseccao entre a reta r: x-y +1=0 e a circunferência t : x2+y2-10y+15=0

Answer 1

Estes pontos de intersecção são: (3 , 4) e (1 , 2).

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Sabe-se que a equação da reta é:

$\tt r:x-y+1=0~\Leftrightarrow~x=y-1~\sf(i)$

E a equação da circunferência é:

$\tt t:x^2+y^2-10y+15=0$

Então para encontrar a posição relativa de r em relação a t, substitua x por y – 1 na eq. da circunferência:

$\tt(y-1)^2+y^2-10y+15=0$

$\tt y^2-2y+1+y^2-10y+15=0$

$\tt 2y^2-12y+16=0~~:2$

$\tt y^2-6y+8=0$

Agora atente-se ao seguinte (fatorando a eq.):

$\tt y^2-6y+9-1=0$

$\tt(y)^2-2(y)(3)+(3)^2-1=0$

$\tt(y-3)^2-1=0$

$\tt(y-3)^2=1~\sf(ii)$

Como o segundo membro é igual a 1, indubitavelmente encontraremos duas soluções reais e distintas que satisfarão essa equação e, por isso, a reta r é secante à circunferência t, pois ela vai interceptar essa circunferência em dois pontos distintos.

Para obter esses tais pontos podemos, de início, resolver a eq. (ii):

$\tt|y-3|=\sqrt{1}$

$\tt y-3=\pm~1$

$\tt y-3=1~~\vee~~y-3=-\,1$

$\tt y=1+3~~\vee~~y=-\,1+3$

$\tt y=4~~\vee~~y=2$

Estas são as ordenadas dos pontos de intersecção entre a reta e a circunferência. Para obter as abscissas, encontre o valores de x correspondentes aos valores de y, na eq. (i):

$\tt x=4-1~~\vee~~x=2-1$

$\tt x=3~~\vee~~x=1$

Portanto, concluímos que a reta r corta a circunferência t nos pontos (3 , 4) e (1 , 2).

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.

Answer 2

Resposta:

resposta:       I' = (1, 2)    e   I'' = (3, 4)

Explicação passo a passo:

sejam as equações:

        λ $: x^{2} + y^{2} - 10y + 15 = 0$  

         $r: x - y + 1 = 0$

Para encontrar os pontos de interseção, devemos resolver o sistema de equações:

1ª          $x^{2} + y^{2} - 10y + 15 = 0$

2ª         $x = y - 1$

Inserindo "x" da 2ª equação na 1ª equação, temos:

   $(y - 1)^{2} + y^{2} - 10y + 15 = 0$

   $y^{2} - 2y + 1 + y^{2} - 10y + 15 = 0$

   $2y^{2} - 12y + 16 = 0$

Calculando o valor de delta temos:

Δ$= b^{2} - 4.a.c = (-12)^{2} - 4.2. 16 = 144 - 128 = 16$

Aplicando a fórmula de Bhaskara temos:

$y = \frac{-b +- \sqrt{delta} }{2.a} = \frac{-(-12) +- \sqrt{16} }{2.2} = \frac{12 +- 4}{4}$

$y' = \frac{12 - 4}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$y'' = \frac{12 + 4}{4} = \frac{16}{4} = 4$

Portanto, os valores das ordenadas dos pontos de interseção são:

      S = {2, 4}

Agora, devemos encontrar as abscissas. Para isso, basta substituir os valores das ordenadas na 2ºª equação. Então:

$y' = 2 => x' = y' - 1 => x' = 2 - 1 = 1$

$y'' = 4 => x'' = y'' - 1 => x'' = 4 - 1 = 3$

Portanto:

          $I' = (x', y') = (1, 2)$

         $I'' = (x'', y'') = (3, 4)$

Portanto, os pontos de interseção são:

                  $I' = (1, 2)$

                 $I'' = (3, 4)$

Observe também a solução gráfica da questão: