Question

Determine os números de K, de modo que a distância entre o ponto P (k,1) e a reta (y) x- y = 2 seja igual a $\sqrt{2}$

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Guilherme, que é simples.
Pede-se o valor de "k", sabendo-se que é igual a √(2) a distância entre o ponto P(k; 1) à reta de equação x - y = 2.
Antes vamos tomar a equação da reta dada e passar o "2" para o 1º membro, ficando assim: x - y - 2 = 0 <--- Esta é a reta da sua questão.

Antes de iniciar, veja que se temos um ponto P(xo; yo) e uma reta da forma: Ax + By + C = 0, a distância (d) do ponto P a essa reta será dada por:

d = |Axo + Byo + C| / √(A²+B²) .

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então a distância (d) do ponto P(k; 1) à reta de equação: x - y - 2 = 0, será dada por:

d = |1*k + (-1)*1 + (-2)| / √(1²+1²)
d = |k - 1 - 2| / √(1+1)
d = |k - 3| / √(2) ----- como a distância é igual √(2), então substituiremos "d" por √(2). Assim:

√(2) = |k-3| / √(2) ----- multiplicando em cruz, teremos;
√(2)*√(2) = |k-3|
√(2*2) = |k-3|
√(4) = |k-3| ----- como √(4) = 2, teremos:
2 = |k-3| ---- ou, seja, teremos que módulo de "k-3" é igual a "2", ou:

|k - 3| = 2

Agora vamos aplicar as condições de existência de funções modulares:

i) Para (k-3) maior ou igual a zero, teremos:

k - 3 = 2
k = 2 + 3
k = 5 <---- Este é um possível valor (válido) de "k"

ii) Para (k-3) menor do zero, teremos: 

-(k-3) = 2
- k + 3 = 2
- k = 2 - 3
- k = - 1 ----- multiplicando ambos os membros por "-1", ficaremos com:
k = 1 <--- Este é outro possível valor (válido) de "k"

iii) Assim, os possíveis valores de "k" para que a distância do ponto P(k; 1) à reta dada, seja igual a √(2) deverão ser:

k' = 5 ou k'' = 1 <---- Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {k'; k''} da seguinte forma (colocando-se os valores em ordem crescente):

S = {1; 5}

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.