Question

determine os números complexos Z1, Z2, Z3de maneira que: a) Z1 ×Z2 ×S3 = 40 +60I B) a parte imaginária de Z1 é -2 c) Z2 é imaginário puro D) Z3 é real

Answer 1

Vamos lá.

Pelo que estamos entendendo, a questão de que você falou seria esta, que estaria escrita da seguinte forma: "Determine os números complexos z₁, z₂ e z₃, de maneira que:

a) z₁*z₂*z₃ = 40 + 60i ;

b) a parte imaginária de z₁ é "-2";

c) z₂ é imaginário puro;

d) z₃ é um número real.
 

i) Bem, de posse dos números acima, então vamos chamá-los assim:

z₁ = a + bi ----- como a parte imaginária de z₁ é "-2", então teremos que:
z₁ = a - 2i     . (I)

z₂ = c + di ------ como z₂ é imaginário puro, então teremos que a sua parte real é zero ( então c = 0). Logo:
 
z₂ = 0 + di ---- ou apenas:
z₂ = di

z₃ = e + fi ----- mas como z₃ é um número real, então a sua parte imaginária é zero (ou seja fi = 0). Assim:

z₃ = e + 0 --- ou apenas:
z₃ = e.

ii) Agora vamos voltar ao produto entre "z₁", "z₂" e "z₃", que é este:

z₁*z₂*z₃ = 40 + 60i ----- fazendo as devidas substituições, teremos:

(a-2i)*(di)*(e) = 40 + 60i ---- ou, o que é a mesma coisa):
(e)*(a-2i)*(di) = 40 + 60i --- multiplicando por "e" o fator (a-2i), teremos:
(ae-2ei)*(di) = 40 + 60i ----- efetuando o produto, teremos:
aedi - 2dei² = 40 + 60i ----- veja que i² = -1. Assim:
aedi - 2de*(-1) = 40 + 60i
aedi + 2de = 40 + 60i ----- ordenando o 1º membro, teremos:
2de + aedi = 40 + 60i, ou, o que é a mesma coisa:
2de + adei = 40 + 60i----- comparando o 1º com o 2º membro (parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária), teremos:

2de = 40    . (I)
e
ade = 60    . (II)

Trabalhando-se com a expressão (I), teremos:

2de = 40
de = 40/2
de = 20    . (III)

Agora vamos na expressão (II), que é esta:

ade = 60 ----- substituindo-se "de" por "20", conforme vimos na expressão (III), teremos:

a*20 = 60
a = 60/20
a = 3 <--- Este é o valor do termo "a" de z₁ = a - 2i , que ficará sendo, portanto:

z₁ = 3 - 2i <---- Esta é a escrita do complexo "z₁"

Agora vamos ver como ficarão o complexo z₂ e o z₃.
Note que se voltarmos ao produto inicial, agora já sabendo qual é a representação de z₁, que é: z₁ = 3-2i, teremos:

z₁*z₂*z₃ = 40 + 60i ---- substituindo-se cada um dos complexos pelas suas representações, teremos:

(3-2i)*(di)*(e) = 40 + 60i ---- ou, o que é a mesma coisa:
(3-2i)*(dei) = 40 + 60i ---- efetuando o último produto indicado, temos:
3dei - 2dei² = 40 + 60i ----- como i² = -1, teremos:
3dei - 2de*(-1) = 40 + 60i --- ou apenas:
3dei + 2de = 40 + 60i ---- ordenando o primeiro membro, teremos:
2de + 3dei = 40 + 60i ----- agora note que (comparando parte real do 1º membro com parte real do 2º membro e parte imaginária do 1º membro com parte imaginária do 2º membro):

2de = 40 ----> de = 40/2 ----> de = 20
e
3de = 60 ---> de = 60/3 -----> de = 20

Como você notou, temos que o produto "de" = 20, em quaisquer circunstâncias. Assim, temos um sistema possível e indeterminado. Quando isso ocorre, poderemos ter as seguintes possibilidades (pois já sabemos que "z₂ = di" e "z₃ = e"):

"d" = 1; e "e" = 20 ---> e assim teríamos: z₂ = i; e z₃ = 20
"d" = 2. e "e" = 10 ---> e assim teríamos: z₂ = 2i; e z₃ = 10
"d" = 4; e "e" = 5 ----> e assim teríamos: z₂ = 4i; e z₃ = 5
"d" = 5; e "e" = 4 ---> e assim teríamos: z₂ = 5i; e z₃ = 4
"d" = 10 e "e" = 2 ---> e assim teríamos: z₂ = 10i e z₃ = 2
"d" = 20 e "e" = 1 ---> e assim teríamos: z₂ = 20i e z₃ = 1 .

Como você vê, os complexos z₂ e z₃ poderão ser um dos vistos aí em cima, já sabendo-se que o único que já está determinado é complexo z₁, que já vimos que é: z₁ = 3 - 2i.


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.