Question

determine os lados de um triângulo rectângulo cujas medidas estão em P.A de razão igual a 3.

Answer 1

Se estão em uma PA então os lados valem :
(x-r,x,x+r).
Como a razão r da PA é 3:
(x-3,x,x+3).
Como estamos em um triângulo retângulo ,basta utilizar o teorema de Pitágoras.
$a {}^{2} = {b}^{2} + {c}^{2}$
$a = hipotenusa = x + 3 \\ b = cateto = x \\ c = cateto = x - 3$
Substituindo, temos:
$(x + 3) {}^{2} = x {}^{2} + (x - 3) {}^{2} \\ {x}^{2} + 6x + 9 = x {}^{2} + x {}^{2} - 6x + 9 \\ - {x}^{2} + 12x = 0$


Resolvendo por Baskhara:
$d = {b}^{2} - 4ac \\ d = {12}^{2} - 4 + \times - 1 \times 0 \\ d = 144$

$x1 = ( - 12 + \sqrt{144}) \div 2 \times - 1 \\ x1 = 0 \div - 2 \\ x1 = 0$
$x2 =( - 12 - \sqrt{144} ) \div 2 \times - 1 \\ x2 = - 24 \div - 2 \\ x2 = 12$
Encontramos suas raízes x=0 e x=12.Como estamos tratando de medidas ,o x=0 não entra.Entai descobrimos que x vale:
$x = 12$
Agora substituindo x temos:
$x = x = 12 \\ x - 3 = 12 - 3 = 9 \\ x + 3 = 12 + 3 = 15$
Logo os lados do triângulo valem 9, 12 e 15 unidade de medida.