Question

Determine os intervalos de crescimento e os de decrescimento de f(x) = x^2 / x-6

Answer 1

Boa Tarde !

Para resolver tal questão, usaremos os conceitos aprendidos em estudo completo da função, utilizando derivadas.

Para saber os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos fazer a primeira derivada da função e igualar ela a 0, encontrando suas raízes que nos indicaram os intervalos onde ela cresce e decresce.

Para derivarmos essa função, precisamos ter conhecimento da regra da divisão na derivada, que se aplica da seguinte maneira:

f(x) = f(x)/g(x)
f'(x) = [f'(x)*g(x) - g'(x)*f(x)]/g(x)^2

Resolvendo a derivada:

f'(x)= (2x(x-6) - 1*x^2)/(x-6)^2
f'(x)= (2x^2-12x-x^2)/(x-6)^2
f'(x)= (x^2-12x)/(x-6)^2

IGUALANDO A ZERO:
(x^2-12x)/(x-6)^2 = 0
x^2-12x=0
x(x-12)=0
x = 0 ou x=12

jogando valores na função original:

x<0 : número negativo próximo a zero ao quadrado, vai dar positivo em cima. Pegando esse mesmo valor, teremos um valor negativo embaixo, positivo dividido por negativo resulta em um número negativo e portanto, decresce.

0<x<12: podemos usar o número 1 como exemplo. A função ficará 1 ao quadrado, que resulta em 1, sobre (1-6) que é igual a -5. 1 sobre -5, resulta em -0,2, outro número negativo e função também decresce nesse intervalo.

12<x: Para números maior que 12, sabemos que no numerador, o número será positivo e no denominador será positivo também, positivo dividido por positivo resulta em um número positivo, portanto nesse intervalo, a função é crescente.

CONCLUINDO:
X menor que 0: decresce
X entre 0 e 12: decresce
X maior que 12: cresce