Question

Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função

$y = 3x^{4}- 16x^{3} +18x^{2}$

Answer 1

Analisamos os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função fazendo o estudo do sinal de sua primeira derivada.

Nesse caso,como se trata de um polinômio temos que a função é diferenciável em R e:

y'=12x³-48x²+36x=12x(x²-4x+3)

Seja f(x)=12x(x²-4x+3),g(x)=12x e h(x)=x²-4x+3.Logo,perceba que:

I.g(x)=0 para x=0
II.g(x) > 0 para x > 0
III.g(x) < 0 para x < 0

IV.h(x)=0 para x=1 ou x=3
V.h(x) > 0 para x < 1 ou x > 3
VI.h(x) < 0 para 1 < x < 3

Assim:

I.f(x)=0 para x=0 ou x=1 ou x=3
II.f(x) > 0 para x ∈ (0,1) ∪ (3,∞)
III.f(x) < 0 para x ∈ (-∞,0) ∪ (1,3)

Portanto:

I.y é crescente em (0,1) ∪ (3,∞)
II.y é decrescente em (-∞,0) ∪ (1,3)