Matemática, perguntado por marcosroberto4443, 3 meses atrás

Determine os intervalos abertos onde o gráfico de F ( x ) = ( x - 1 )3 é covado para cima e covado para baixo

Soluções para a tarefa

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que os intervalos em relação à concavidade da curva são, respectivamente:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \textrm{Se}\:x < 1 \Longrightarrow \textrm{I} =\: ]-\infty,\:1[ \Longrightarrow \textrm{Concavidade}\:\:\cap\:\:\:}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \textrm{Se}\:x > 1 \Longrightarrow \textrm{I} =\: ]1,\:+\infty[ \Longrightarrow \textrm{Concavidade}\:\:\cup\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Seja a função polinomial:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = (x - 1)^{3}\end{gathered}$}$

Sabemos que o ponto de inflexão de uma função é o ponto no qual ocorre a inversão no sentido de abertura da concavidade de seu gráfico, isto é, o sentido de abertura da concavidade deixa de estar orientado para cima e passa a ser orientado para baixo - ou vice-versa.

Para calcularmos os pontos de inflexão dessa função, devemos:

Desenvolver a função dada.

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = (x - 1)^{3}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1\end{gathered}$}$

Portanto, a função desenvolvida é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1\end{gathered}$}$

Calcular a segunda derivada da função.

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f''(x) = f'\left[f'(x)\right]\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = f'\left[3\cdot x^{3 - 1} - 2\cdot3\cdot x^{2 - 1} + 1\cdot3\cdot x^{1 - 1} - 0\right]\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = f'\left[3x^{2} - 6x + 3\right]\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 2\cdot3\cdot x^{2 - 1} - 1\cdot 6\cdot x^{1 - 1} + 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 6x - 6\end{gathered}$}$

Portanto, a segunda derivada é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f''(x) = 6x - 6\end{gathered}$}$

Determinar a abscissa do ponto de inflexão.

A abscissa do ponto de inflexão será sempre o valor numérico de "x" quando a derivada segunda for igual a "0", ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f''(x) = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 6x - 6 = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 6x = 6\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x = \frac{6}{6}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x = 1\end{gathered}$}$

Portanto, a abscissa do ponto de inflexão é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x = 1\end{gathered}$}$

Montar o ponto de inflexão.

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P_{I} = (x_{I},\:y_{I})\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (x_{I},\:f(x_{I}))\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (1, (1 - 1)^{3})\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (1,\:0)\end{gathered}$}$

Portanto, o ponto de inflexão é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P_{I} = (1, \:0)\end{gathered}$}$

Montar os intervalos de acordo com suas concavidades.

Concavidade para baixo.

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}\:x < 1 \Longrightarrow \textrm{I} =\: ]-\infty,\:1[ \Longrightarrow \textrm{Concavidade}\:\:\cap\end{gathered}$}$

Concavidade indefinida.

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}\:x = 1 \end{gathered}$}$

Concavidade para cima:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}\:x > 1 \Longrightarrow \textrm{I} =\: ]1,\:+\infty[ \Longrightarrow \textrm{Concavidade}\:\:\cup\end{gathered}$}$