Question

Determine os focos, os vértices e esboce as elipses cuja equação é:$x^{2} + 2y^{2} = 1$

Boa tarde, pessoal. Fiquei com dúvida nesse exercício de geometria analítica, na parte de elipse. A minha maior dificuldade está sendo em colocar os denominadores no x e no y, para que vire uma equação da elipse

Answer 1

Temos a seguinte equação de uma elipse:

$x {}^{2} + 2y {}^{2} = 1$

Para deixarmos no formato de uma elipse, podemos fazer a seguinte mudança:

$\frac{x {}^{2} }{1} + \frac{y {}^{2} }{ \frac{1}{2} } = 1$

Agora vamos encontrar os vértices. Como pode ser observado, essa equação possui o formato com o eixo maior paralelo a "x", pois o maior valor está abaixo do x², então:

$a {}^{2} = 1 \: \to \: \: a = 1 \\ b {}^{2} = \frac{1}{2} \: \to \: b = \frac{ \sqrt{1} }{ \sqrt{2} } \: \to \: b = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

Agora para encontrar o valor de "c" devemos utilizar o teorema de Pitágoras:

$a {}^{2} = b {}^{2} + c {}^{2} \: \: \to \: \: 1 {}^{2} = \left( \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) {}^{2} + c {}^{2} \\ \\ 1 = \frac{1}{2} + c {}^{2} \: \to \: c {}^{2} = 1 - \frac{1}{2} \: \to \: c {}^{2} = \frac{1}{2} \\ \\ \boxed{c = \frac{ \sqrt{2} }{2} }$

Aí, com isso temos que:

$A_1\left( 1,0\right), A_2\left( - 1,0 \right) \\ B_1\left( \frac{ \sqrt{2} }{2} ,0\right),B_2\left( - \frac{ \sqrt{2} }{2},0\right) \\ F_1\left( \frac{ \sqrt{2} }{2} ,0\right),F_2\left( - \frac{ \sqrt{2} }{2},0\right)$

Espero ter ajudado